第1期 二次根式、二次根式的乘除-数理报】2020-2021学年九年级中考数学(华东师大版)（答案见下期）

书书书 利用二次根式的性质化简二次根式，不仅要掌握二 次根式的运算性质，而且还要把握化简中的一些要点． 一、将被开方数分解 当被开方数是一个整数时，可将这个整数分解成两 个整数的积，且其中一个是某整数的平方． 例１　化简槡１２的结果是 （　　） Ａ．４槡３ Ｂ．２槡３ Ｃ．３槡２ Ｄ．２槡６ 解：槡１２＝ ３×２槡 ２ ＝槡３× ２槡 ２ ＝２槡３．故选Ｂ． 二、将分母化为平方数 当被开方数是分数时，可将分数的分子、分母同乘 以一个适当的数，把分母化为一个平方数． 例２　化简： １槡８． 解： １ 槡８ ＝ ２ 槡１６＝ 槡２ 槡１６ ＝槡２ ４ ． 三、将带分数化为假分数 当被开方数是带分数时，可先将带分数化为假分 数，再进行化简． 例３　化简： ２１槡５． 解： ２１槡５ ＝ １１ 槡５ ＝ １１×５ ５×槡 ５ ＝ 槡５５ 槡２５ ＝槡５５ ５ ． 四、将小数化为分数 当被开方数是小数时，一般先将小数化成分数，再 进行化简． 例４　化简： ０．槡 ２４． 解： ０．槡 ２４＝ ２４ 槡１００＝ 槡２４ 槡１００ ＝ ２ ２×槡 ６ １０ ＝槡６ ５ ． 五、运用积的算术平方根的性质解题 当被开方数不含分母时，可以先将它分解因数或分 解因式，然后运用积的算术平方根的性质进行化简． 例５　化简： １８ｘ２ｙ槡 ３． 解：原式 ＝ ９ｘ２ｙ２·２槡 ｙ＝ ９ｘ ２ｙ槡 ２ · ２槡ｙ＝３ｘｙ ２槡ｙ． 书书书 数学思想是数学的灵魂，是研究和解决数学问题的 “金钥匙”，解题时若能灵活应用，则可使同学们的思维 更敏捷、思路更清晰，二次根式化简、求值中的数学思想 主要有以下几种． 一、数形结合思想助力二次根式的化简 例１　 实数 ａ在数轴上的位置如图所示，则 （ａ－４）槡 ２ － （ａ－１１）槡 ２ 化简后为 （　　） Ａ．７ Ｂ．－７ Ｃ．２ａ－１５ Ｄ．无法确定 分析：首先根据数轴得到ａ的取值范围，然后得出ａ－ ４和ａ－１１的符号，最后根据二次根式的性质进行化简． 解：根据数轴，得５＜ａ＜１０．所以ａ－４＞０，ａ－１１ ＜０．所以原式 ＝ａ－４＋ａ－１１＝２ａ－１５．故选Ｃ． 点评：本题运用数形结合思想，通过观察从数轴上 获取信息，然后结合二次根式的性质解决问题． 二、整体思想巧妙解决二次根式求值问题 例２　已知ｘ２－３ｘ＋１＝０，求 ｘ２＋１ ｘ２ － 槡 ２的值． 分析：把已知等式两边同时除以ｘ，得到ｘ＋１ ｘ ＝３，再 利用完全平方公式的变形得到原式 ＝ （ｘ＋１ ｘ ） ２－槡 ４， 最后利用整体代入的方法计算． 解：因为ｘ２－３ｘ＋１＝０，所以ｘ－３＋１ ｘ ＝０，即ｘ ＋１ ｘ ＝３．所以原式 ＝ （ｘ＋１ ｘ ） ２－槡 ４＝槡５． 点评：目前，根据已知条件，同学们很难求出ｘ的值， 若结合完全平方公式的变形，从已知条件入手巧用整体 思想，比较容易求出问题的解来． 三、分类讨论思想在二次根式计算中的应用 例３　化简： （ｘ－１）槡 ２ ｘ－１ ． 分析：由题意知，ｘ≠１，因此ｘ＜１或ｘ＞１，故需分 两种情况讨论． 解：当ｘ－１＜０，即ｘ＜１时，原式 ＝－（ｘ－１） ｘ－１ ＝－１； 当ｘ－１＞０，即ｘ＞１时，原式 ＝ｘ－１ ｘ－１ ＝１． 点评：对于某些数学问题，结果可能会有多种情况， 在未具体指明哪种情况时，需要对各种情况进行分类讨 论，保证解答完整准确，做到不重不漏． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !"#" ! " !" #$% " &' ()) 书书书 二次根式的运算常常与几何图形联系在一起，来求 几何图形的边长、周长、面积、体积等．下面举例进行说 明，请同学们体会二次根式运算在几何图形中的应用． 例１　 已知一个矩形的长和宽分别为 ５ ｘ槡５， ５ ４ ｘ ４ ５槡ｘ． （１）求这个矩形的面积； （２）请你给一个适当的ｘ值，使它的长和宽均为整 数，并求出此时矩形的面积． 分析：（１）把矩形的长和宽相乘，即为矩形的面积； （２）ｘ的取值不惟一，只要满足被开方数为一个数的平 方即可． 解：（１）这个矩形的面积 ＝５ ｘ槡５· ５ ４ ｘ ４ ５槡ｘ＝ ５ ２ ｘ． （２）当ｘ＝２０时，长和宽均为整数，此时矩形的面 积 ＝ ５ ２ ×２０＝５０（答案不惟一）． 例２　 如图 １，在四边形 ＡＢＣＤ 中，∠Ａ＝∠ＢＣＤ＝９０°，∠Ｂ＝４５°， ＡＢ＝ 槡２６，ＣＤ＝槡３，求四边形ＡＢＣＤ 的面积． 分析：延长 ＡＤ，ＢＣ相交于点 Ｅ， 要求四边形ＡＢＣＤ的面积，只需求出 △ＡＢＥ和△ＣＤＥ的面积，相减即可． 解：延长ＡＤ，ＢＣ相交于点Ｅ，如 图２． 因为∠Ａ＝∠ＢＣＤ＝９０°，∠Ｂ＝４５°， 所以∠Ｅ＝４５°， 所以△ＡＢＥ和△ＣＤＥ都为等腰直角三角形， 所