第2期 二次根式的加减、第二十一章 二次根式 整章复习-数理报】2020-2021学年九年级中考数学(华东师大版)（答案见下期）

书书书 二次根式的加减运算是本节学习的重点，其关键在 于掌握二次根式加减运算的三个基本步骤． １．化：将算式中的各项都化成最简二次根式．这是 二次根式加减运算的关键步骤． ２．找：在各项都化为最简二次根式后，找出被开方 数相同的二次根式． ３．合：将被开方数相同的二次根式合并．合并时，同 整式加减中合并同类项相似，只合并二次根式前面的 “系数”，二次根号及被开方数不变． 实战演练 例１　计算：槡３２－ 槡５３－槡２＋ 槡２３． 分析：题目中的四个二次根式均已是最简二次根 式，可直接找出被开方数相同的二次根式，然后分别合 并． 解：原式＝ 槡３２－槡２－ 槡５３＋ 槡２３ ＝（３－１）×槡２＋（－５＋２）×槡３ ＝ 槡２２－ 槡３３． 例２　计算：槡１８ ３ －３槡 １ ３ －槡２７＋槡３２． 分析：根据二次根式的加减运算的三个步骤，先将 算式中各项化为最简二次根式，再找出被开方数相同的 二次根式，最后合并即可． 解：原式＝ １ ３ × 槡３２－３×槡 ３ ３ － 槡３３＋ 槡４２ ＝槡２－槡３－ 槡３３＋ 槡４２ ＝（槡２＋ 槡４２）＋（－槡３－ 槡３３） ＝ 槡５２－ 槡４３． 例３　计算：（槡５４＋槡５）－（槡２０＋槡２４）． 分析：本题可先去括号，再按二次根式的加减运算 的三个步骤进行计算． 解：原式＝槡５４＋槡５－槡２０－槡２４ ＝ 槡３６＋槡５－ 槡２５－ 槡２６ ＝（槡３６－ 槡２６）＋（槡５－ 槡２５） ＝槡６－槡５． 注意事项 １．在二次根式的加减运算中，如果有括号，可以先 化简，再去括号；也可以先去括号，再化简．注意符号不 要出错． ２．化简要彻底，化简后，被开方数不同的二次根式 不能合并，对于没有合并的二次根式不能漏掉，它们是 结果的一部分． ３．在运算的过程中，二次根式中根号外的数字因数 是分数的，不要写成带分数的形式，而要写成假分数的 形式． ! !" #$% 书书书 在二次根式的运算 中，条件求值问题是一种 重要的题型，如果能够根 据题目的具体特点，灵活 采用不同的方法，可以帮 助我们迅速地解决问题． 一、先确定字母的值， 再代入求值 例 １　 已 知 ｙ ＝ ｘ－槡 ２＋ ２槡 －ｘ＋２，试 计算 ｙ ２槡ｘ＋ ｘ ２槡ｙ的值． 解：根据二次根式的被 开方数具有非负性，得 ｘ－２≥０， ２－ｘ≥０{ ，解得ｘ＝２． 把 ｘ＝２代入 ｙ＝ ｘ－槡 ２＋ ２槡 －ｘ＋２，得ｙ ＝２． 所以 ｙ ２槡ｘ＋ ｘ ２槡ｙ＝ ２×槡 ２＋ ２×槡 ２＝４． 二、先化简，再代入求值 例２　先化简，再求值：（６ｘ ｙ槡ｘ ＋ ３ ｙ ｘｙ槡 ３ ）－ （４ｙ ｘ槡ｙ ＋ ３６槡 ｘｙ），其中ｘ＝ ３ ２ ，ｙ＝２７． 解：原式 ＝６槡ｘｙ＋３槡ｘｙ－４槡ｘｙ－６槡ｘｙ＝ －槡ｘｙ．当ｘ＝ ３ ２ ，ｙ＝２７时，原式 ＝－ ３ ２ ×槡 ２７＝ －９槡２ ２ ． 三、先转化，再代入求值 例３　已知ｘ＝槡１３－槡５，ｙ＝槡１３＋槡５，则代数 式ｘ２－２ｘｙ＋ｙ２的值是 ． 解：因为ｘ＝槡１３－槡５，ｙ＝槡１３＋槡５，所以ｘ ２－ ２ｘｙ＋ｙ２ ＝（ｘ－ｙ）２ ＝（槡１３－槡５－槡１３－槡５） ２ ＝ （－２槡５） ２ ＝２０． 故填２０． 例４　已知ｘ＝１ ２ （槡５＋槡３），ｙ＝ １ ２ （槡５－槡３）， 求ｘ２－３ｘｙ＋ｙ２的值． 解：因为ｘ＝ １ ２ （槡５＋槡３），ｙ＝ １ ２ （槡５－槡３）， 所以ｘ－ｙ＝１ ２ （槡５＋槡３）－ １ ２ （槡５－槡３）＝槡 ５ ２ ＋槡３ ２ －槡５ ２ ＋槡３ ２ ＝槡３，ｘｙ＝ １ ２ （槡５＋槡３）× １ ２ （槡５－ 槡３）＝ １ ４ ×（５－３）＝１ ２ ．所以原式 ＝（ｘ－ｙ）２－ｘｙ ＝（槡３） ２－１ ２ ＝ ５ ２ ． 书书书 二次根式的运算中有很多技巧，只要在计算时恰当 地运用，就可以使运算简便．现将总结的经验介绍如下． 一、巧移因式 例１　计算：（３槡２－槡４８）（槡１８＋４槡３）． 分析：先将３槡２，４槡３根号外的因式移到根号内或先 把槡４８，槡１８进行化简，再运用平方差公式进行计算． 解：原式＝（槡１８－槡４８）（槡１８＋槡４８） ＝（槡１８） ２－（槡４８） ２ ＝１８－４８＝－３０． 二、巧用运算律 例２　计算：（ ８槡２７－５槡３）×槡６． 分析：本题的常规解法是先做小括号里面的减法运 算，然后再做乘法运算，但计算量较大．若利用乘法分配 律，则较简单． 解：原式＝ ８槡２７×槡６－５槡３×槡６ ＝ ８×６槡２７ －５ ３×槡 ６＝ ４ ３ －１５槡２． 三、巧用幂的运算法则 例３　计算：（槡２＋１） ２０２０ ·（槡２－１） ２０２１． 分析：观察此题可知指数太大无法直接计算．因为 （槡２＋１）（槡２－１）＝１，联想到幂的运算法则（ａｂ）