第6期 成比例线段、相似图形-【数理报】2020-2021学年九年级中考数学(华东师大版)（答案见下期）

书书书 平行线分线段成比例的基本事实及其推论是研究相 似形时最基本的理论，学习的关键是找准图形中的对应 线段．下面从两个方面说明，供同学们学习时参考． 一、“口诀”帮你找对应线段 １．基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的 对应线段成比例． ２．如图１，当ｌ１∥ｌ２∥ｌ３时，可得到 ＡＢ ＢＣ ＝ＤＥ ＥＦ ．由比例的性质，还可得到ＢＣ ＡＢ ＝ ＥＦ ＤＥ ， ＡＢ ＡＣ ＝ＤＥ ＤＦ ， ＡＣ ＡＢ ＝ＤＦ ＤＥ ， ＢＣ ＡＣ ＝ＥＦ ＤＦ ， ＡＣ ＢＣ ＝ ＤＦ ＥＦ ． 为了便于记忆，上述６个比例可使用一些简单的形 象化的语言来表示： 上 下 ＝上 下 ， 下 上 ＝下 上 ， 上 全 ＝上 全 ， 全 上 ＝ 全 上 ， 下 全 ＝下 全 ， 全 下 ＝全 下 ．另外，根据比例的性质，还可得 到 ＡＢ ＤＥ ＝ＢＣ ＥＦ ＝ＡＣ ＤＦ ，即满足“ 左 右 ＝左 右 ”． 二、基本图形帮你学推论 １．推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相 交，截得的对应线段成比例． ２．已知△ＡＢＣ，ＤＥ是截线，上述推论包含了如图２ 所示的三种情况，可以简单称为“Ａ”型和“Ｘ”型，上面 的口诀同样适用于这些基本图形． 书书书 绝招一、运用比例的性质 对已知的等式，利用比例的性质，如比例的基本性质、 合比性质进行变形，进而求出所求式子的值． 例１　已知 ａ ｂ ＝ １ ３ ，那么 ａ ａ＋ｂ 的值为 ． 分析：本题可以由比例的基本性质、合比性质来解． 解法一：根据比例的基本性质，得ｂ＝３ａ． 所以 ａ ａ＋ｂ ＝ ａ ａ＋３ａ ＝ １ ４ ． 故填 １ ４ ． 解法二：因为 ａ ｂ ＝ １ ３ ，所以 ｂ ａ ＝ ３ １ ． 根据合比性质，得 ｂ ａ ＋１＝ ３ １ ＋１． 所以 ｂ＋ａ ａ ＝ ４ １ ．所以 ａ ａ＋ｂ ＝ １ ４ ． 故填 １ ４ ． 绝招二、等比设值法 对于有等比条件求比值的题目，可设比值为ｋ，用含 ｋ的式子来表示未知数，将其代入所求式中求值． 例２　若 ａ ６ ＝ ｂ ５ ＝ ｃ ４≠ ０，且ａ＋ｂ－２ｃ＝３，则 ａ＝ ． 分析：已知是等比形式，设其比值为 ｋ，用 ｋ表示出 ａ，ｂ，ｃ进而计算可得出答案． 解：设 ａ ６ ＝ ｂ ５ ＝ ｃ ４ ＝ｋ（ｋ≠０）， 则ａ＝６ｋ，ｂ＝５ｋ，ｃ＝４ｋ， 因为ａ＋ｂ－２ｃ＝３， 即６ｋ＋５ｋ－８ｋ＝３， 解得ｋ＝１， 所以ａ＝６ｋ＝６． 故填６． 绝招三、代入消元法 在求一个比的值时，可根据已知等式，用其中一个 字母表示其他字母，并代入所求的比中，约去这个字母， 求出其比的值． 例３　已知ｘ∶ｙ∶ｚ＝１∶２∶３，求ｘ－２ｙ－７ｚ ｘ＋２ｙ＋４ｚ 的值． 分析：因已知比中有１，故可用ｘ表示其他字母，然后 代入所求式即可求值． 解：因为ｘ∶ｙ＝１∶２，所以ｙ＝２ｘ． 因为ｘ∶ｚ＝１∶３，所以ｚ＝３ｘ． 因为ｘ≠０，所以原式 ＝ ｘ－４ｘ－２１ｘ ｘ＋４ｘ＋１２ｘ ＝－２４ １７ ． 绝招四、特殊值法 例４　 若 ｘ ２ ＝ ｙ ７ ＝ ｚ ５ ，则 ｘ＋ｙ－ｚ ２ｘ＋ｚ ＝ ． 分析：本题是填空题，故可取特殊值代入所求式中， 求出其值． 解：取ｘ＝２，ｙ＝７，ｚ＝５，易知ｘ，ｙ，ｚ满足已知条件， 所以原式 ＝２＋７－５ ２×２＋５ ＝ ４ ９ ． 故填 ４ ９ ． 书书书 ５期 一、１．Ｄ；　２．Ａ； ３．Ｄ；　４．Ｄ；　５．Ａ； ６．Ａ；　７．Ｃ；　８．Ｂ； ９．Ｂ；　１０．Ｃ；　１１．Ｄ； １２．Ｂ． 二、１３．－１； １４．答案不惟一，如０； １５．３６；　１６．２０１９． 三、１７． （１）ｘ１ ＝ ３＋ 槡２３ ３ ，ｘ２ ＝ ３－ 槡２３ ３ ； （２）ｘ１ ＝１＋槡３，ｘ２ ＝ １－槡３． １８．设薛老师所带班 级有ｘ人， 依题意，得 １ ２ ｘ（ｘ－１） ＝１５４０， 整理，得ｘ２－ｘ－３０８０ ＝０， 解得 ｘ１ ＝５６，ｘ２ ＝ －５５（不合题意，舍去）． 答：薛老师所带班级 的学生有５６人． １９．（１）证明：依题意， 得Δ＝（ｍ－４）２－４（ｍ－ １）×（－３）＝ｍ２－８ｍ＋１６ ＋１２ｍ－１２＝ｍ２＋４ｍ＋４ ＝（ｍ＋２）２． 因为（ｍ＋２）２≥０，所 以方程总有两个实数根． （２）因为（ｘ＋１）［（ｍ －１）ｘ－３］＝０， 所以 ｘ１ ＝－１，ｘ２ ＝ ３ ｍ－１ ， 因为方程的两个实数 根都是整数，且 ｍ是正整 数， 所以ｍ－１＝１或ｍ－ １＝３， 所以ｍ＝２或ｍ＝４． ２０．假定存在这样的 三个数，其中中间的数为 ｎ，则有（ｎ－１）２＋ｎ２ ＝（ｎ ＋１）２， 整理得ｎ２－４ｎ＝０， 所以ｎ１ ＝０，ｎ２ ＝４， 又因为ｎ≥２， 所以ｎ＝４． 所以除了３２＋４２＝５２ 外，不存在另一个这样的 等式． （下转２，３版中缝） 书书书