第1期 二次函数、二次函数的图象和性质-【数理报】2020-2021学年九年级中考数学(沪科版 安徽专版)（答案见第下期）

书书书 二次函数图象形象直观地反映了二次函数的性质， 含有大量的有用信息，是考查“数形结合思想”和获取 图象信息能力的好素材． 一、单图象问题 例１　已知ａ≠０，在同一平面直角坐标系中，函数 ｙ＝ａｘ与ｙ＝ａｘ２的图象有可能是 （　　） 解析：解决本题可采用分类讨论法． 当ａ＞０时，直线ｙ＝ａｘ经过一、三象限，抛物线ｙ＝ ａｘ２开口向上，它们的交点为（０，０）和（１，ａ），且（１，ａ） 在第一象限，观察四个选项，没有与ａ＞０相符合的． 当ａ＜０时，直线ｙ＝ａｘ经过二、四象限，抛物线ｙ＝ ａｘ２开口向下，它们的交点为（０，０）和（１，ａ），且（１，ａ） 在第四象限，观察四个选项可知，与此相符合的只有选 项Ｃ．故选Ｃ． 例２　对于抛物线 ｙ＝－１ ２ （ｘ＋１）２ ＋３，下列结 论： ①抛物线的开口向下； ②对称轴为直线ｘ＝１； ③顶点坐标为（－１，３）； ④ｘ＞１时，ｙ随ｘ的增大而减小， 其中正确结论的个数为 （　　） Ａ．１　　　　Ｂ．２　　　　Ｃ．３　　　　Ｄ．４ 解析：作出 ｙ＝－１ ２ （ｘ＋１）２ ＋３的大致图象，如 图１． 因为ａ＝－１ ２ ＜０，所以抛物线开口向下，①正确； 由二次函数的图象可知，对称轴 为直线ｘ＝－１，②错误；顶点坐标 为（－１，３），③ 正确；由图１可知 当ｘ＞１时，ｙ随ｘ的增大而减小， ④正确．故正确的结论有３个．故 选Ｃ． 二、双图象问题 例３　如图２，抛物线ｙ１ ＝ａ（ｘ ＋２）２－３与 ｙ２ ＝ １ ２ （ｘ－３）２＋１ 交于点Ａ（１，３），过点Ａ作ｘ轴的平 行线，分别交两条抛物线于点 Ｂ，Ｃ． 则以下结论：①无论ｘ取何值，ｙ２的 值总是正数；②ａ＝１；③２ＡＢ＝３ＡＣ．其中正确的结论是 （　　） Ａ．①② Ｂ．②③ Ｃ．③ Ｄ．①③ 解析：因为（ｘ－３）２≥０， 所以ｙ２ ＝ １ ２ （ｘ－３）２＋１＞０， 即无论ｘ取何值，ｙ２的值总是正数．故①正确； 因为两抛物线交于点Ａ（１，３）， 所以３＝ａ（１＋２）２－３，解得ａ＝ ２ ３≠ １． 故②错误； 解方程３＝ ２ ３ （ｘ＋２）２－３，得ｘ１ ＝１，ｘ２ ＝－５， 所以Ｂ（－５，３）．所以ＡＢ＝６，２ＡＢ＝１２． 解方程３＝ １ ２ （ｘ－３）２＋１，得ｘ１ ＝１，ｘ２ ＝５， 所以Ｃ（５，３）．所以ＡＣ＝４，３ＡＣ＝１２． 所以２ＡＢ＝３ＡＣ．故③正确． 因此，正确结论是①③．故选Ｄ． 书书书 二次函数是函数大家族中极为重要的成员，它的许 多性质在实际生活中有着广泛应用，因此同学们学习时 一定要深刻领会二次函数的概念，通过对问题情景的分 析确定二次函数的表达式，为运用二次函数及其性质解 决实际问题打下必要的基础． 一、二次函数的概念 一般地，表达式形如ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ，ｂ，ｃ是常数， 且ａ≠０）的函数，叫做二次函数．其中，ｘ是自变量，ａ，ｂ，ｃ 分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项． 注意： （１）二次函数就是说自变量ｘ的最高次数是２； （２）特别要注意ａ≠０这一个条件．若ａ＝０，表达式 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ中就不含有二次项，它就成了一次函数 ｙ＝ｂｘ＋ｃ； （３）当ｂ＝０，ｃ＝０时，ｙ＝ａｘ２是特殊的二次函数． 例１　下列函数中，哪些是二次函数，哪些不是二 次函数？ （１）ｙ＝ｘ＋１ ｘ ； （２）ｙ＝（３ｘ－１）２－９ｘ２； （３）ｙ＝１０πｒ２； （４）ｙ＝槡３ｘ ３＋２ｘ２－５； （５）ｙ＝３（ｘ－１）２＋２０１７； （６）ｙ＝ １ ２ｘ２ ＋４ｘ． 解析：（１）的最高次数不是２，且含有自变量的式子 包含分式；（２）利用去括号与合并同类项后得ｙ＝－６ｘ＋ １，是一次函数；（３）是二次函数；（４）的自变量的最高次 数是３；（５）整理后可得ｙ＝３ｘ２－６ｘ＋２０２０，符合二次 函数的定义；（６）的最高次数不是２，但含有自变量的 式子包含分式． 答案：（１）（２）（４）（６）不是二次函数，（３）（５）是二 次函数． 方法指导：识别二次函数的关键是： （１）函数的表达式是整式； （２）经化简整理后，自变量的最高次数是２； （３）二次项系数不等于零． 二、建立二次函数模型 解有关二次函数的应用题，与一次函数应用题类 似，都是寻找等量关系，如总利润 ＝单件利润 ×数量， 长方形的面积 ＝长 ×宽等． 例２　用一根长为８００ｃｍ的木条做一个矩形窗框， 若宽为ｘｃｍ，写出它的面积ｙ与ｘ之间的函数表达式，并 判断ｙ是ｘ的二次函数吗？ 解析：根据矩形的周长表示出长，根据面积 ＝长 × 宽即可得出ｙ与ｘ之间的函数表达式． 答案：由题意，得矩形的周长为８００ｃｍ， 所以矩形的长为 ８００－２ｘ ２ ｃｍ， 所以ｙ＝ｘ×８００－２ｘ ２ ＝－ｘ２＋４００ｘ（０＜ｘ＜４００）． 故ｙ是ｘ的二次函数． 方法指导：列二次函数的表达