第2期 二次函数与一元二次方程、二次函数的应用-【数理报】2020-2021学年九年级中考数学(沪科版 安徽专版)（答案见第下期）

书书书 求二次函数的表达式，是初中数学的重要内容之 一．学会求二次函数的表达式，可使许多问题迎刃而解， 那么求二次函数的表达式有什么技巧呢？现举例说明如 下： 一、根据一般式 例１　已知某二次函数的图象过点（０，０），（１，－６） 和（２，－８）．求此二次函数的表达式． 解析：此函数的图象过点（０，０），说明其常数项为 ０，所以可设其函数表达式为ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ，把点（１，－６） 和点（２，－８）代入，得 －６＝ａ＋ｂ， －８＝４ａ＋２ｂ{ ，解得 ａ＝２， ｂ＝－８{ ． 所以此二次函数的表达式为ｙ＝２ｘ２－８ｘ． 点评：此方法的技巧是利用坐标与图象的关系，推 出常数项为０，使列的方程组较简便． 二、根据顶点式或两根式 例２　已知某二次函数过点（１，０），（５，０）和（３， ８）．求此二次函数的表达式． １．用顶点式 解析：仔细观察不难发现，给出的三个点的横坐标 分别是１，３，５．其中３恰好在１和５的中间，根据二次函 数图象的对称性可知，３就是它的顶点横坐标，那么（３， ８）就是它的顶点坐标，所以设ｙ＝ａ（ｘ－３）２＋８．把点 （１，０）代入，解得ａ＝－２，所以ｙ＝－２（ｘ－３）２＋８，化 为一般形式为ｙ＝－２ｘ２＋１２ｘ－１０． 点评：此方法的技巧在于：利用二次函数的对称性， 发现（３，８）是顶点坐标，利用顶点式求解，又快又对． ２．用两根式 解析：仔细观察还可发现，点（１，０），（５，０）都在ｘ轴 上，所以还可用两根式求解，设ｙ＝ａ（ｘ－１）（ｘ－５），把 点（３，８）代入此表达式，得８＝ａ（３－１）（３－５），解得ａ ＝－２，所以ｙ＝－２（ｘ－１）（ｘ－５），化为一般形式为 ｙ ＝－２ｘ２＋１２ｘ－１０． 点评：此方法的技巧是：仔细观察，发现两根，再用 两根式求解． 书书书 二次函数与一元二次方程是初中数学的核心内容， 它们之间有着密切的联系：当二次函数 ｙ＝ａｘ２ ＋ｂｘ＋ ｃ（ａ≠０）的值为零时，可转化为一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ ＋ｃ＝０（ａ≠０），而二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象与 ｘ轴交点的横坐标就是一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０的 根．现举例说明，供同学们参考． 例１　已知二次函数ｙ＝－ｘ２＋ ２ｘ＋ｍ的部分图象如图１所示，则关 于ｘ的一元二次方程 －ｘ２＋２ｘ＋ｍ＝ ０的根为 ． 解析：设抛物线ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋ｍ 与ｘ轴的交点为（ｘ１，０），（３，０）． 由图象及抛物线的对称性知， ｘ１＋３ ２ ＝１， 解得ｘ１ ＝－１． 所以一元二次方程 －ｘ２＋２ｘ＋ｍ＝０的根为ｘ１ ＝ －１，ｘ２ ＝３．故填ｘ１ ＝－１，ｘ２ ＝３． 说明：解答本题，主要利用抛物线的对称性及二次 函数与一元二次方程之间的联系． 例２　已知二次函数 ｙ＝ａｘ２ ＋ ｂｘ＋ｃ的图象如图２所示，那么关于ｘ 的一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＋２＝０ 的根的情况是 （　　） Ａ．无实数根 Ｂ．有两个相等的实数根 Ｃ．有两个异号的实数根 Ｄ．有两个同号不等的实数根 解析：因为ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＋２＝０， 所以ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝－２． 设ｙ１ ＝ａｘ ２＋ｂｘ＋ｃ，ｙ２ ＝－２． 因为ｙ１＝ａｘ ２＋ｂｘ＋ｃ的图象如图２所示，－３＜－２＜ ０， 所以ｙ２ ＝－２与抛物线ｙ１ ＝ａｘ ２＋ｂｘ＋ｃ有两个交 点：ｘ１ ＞０，ｘ２ ＞０，且ｘ１≠ｘ２， 所以一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＋２＝０有两个同号 不等的实数根．故选Ｄ． 说明：解答本题的关键是把方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＋２＝ ０转化为两个函数，再利用这两个函数图象交点的横坐 标就是一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＋２＝０的根的关系， 来判断一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＋２＝０的根的情况． 例３　根据下列表格中二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的 自变量ｘ与函数值ｙ的对应值，判断方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝ ０（ａ≠０，ａ，ｂ，ｃ为常数）的一个根ｘ的范围是 （　　） ｘ ６．１７ ６．１８ ６．１９ ６．２０ ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ －００３ －００１ ００２ ００４ Ａ．６＜ｘ＜６１７ Ｂ．６１７＜ｘ＜６１８ Ｃ．６１８＜ｘ＜６１９ Ｄ．６１９＜ｘ＜６２０ 解析：根据表格提供的信息可知，在６．１８到６．１９之 间一定有一个ｘ值，使得ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０． 所以方程ａｘ２ ＋ｂｘ＋ｃ＝０的一个根 ｘ的范围是 ６．１８＜ｘ＜６．１９．故选Ｃ． 说明：本题考查二次函数与一元二次方程的关系， 要求ｘ的范围，只需在表格中找出ｙ的值由负到正所对 应的ｘ的范围即可． 书书书 一、营销问题 例１　 服装厂批发某种 服装，每件成本为６５元，规定 不低于１０件可以批发，其批 发价ｙ（元 ／件）与批发数量 ｘ（件）（ｘ为正整数）之间所 满足的函数关系如图１所示． （１）求ｙ与ｘ之间所满足的函数表达式，并写出ｘ