第七讲 全称量词与存在量词命题的否定(基础训练)-2020-2021学年高一年级数学基础讲练（人教A版2019必修第一册）

第七讲 全称量词与存在量词命题的否定 课堂达标 1.命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则“綈p”形式的命题是(　　) A.存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根 B.不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根 C.对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根 D.至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根 解析　命题p是特称命题，其否定形式为全称命题，即綈p：对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根. 答案　C 2.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p：∀x∈A，2x∈B，则(　　) A.綈p：∀x∈A，2x∈B B.綈p：∀x∉A，2x∉B C.綈p：∃x∉A，2x∈B D.綈p：∃x∈A，2x∉B 解析　命题p：∀x∈A，2x∈B是一个全称命题，其命题的否定綈p应为∃x∈A，2x∉B，选D. 答案　D 3.对下列命题的否定说法错误的是(　　) A.p：能被2整除的数是偶数；綈p：存在一个能被2整除的数不是偶数 B.p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形 C.p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形 D.p：∃n∈N，2n≤100；綈p：∀n∈N，2n>100. 解析　“有的三角形为正三角形”为特称命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误. 答案　C 4.命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是(　　) A.∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0 B.∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0 C.∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0 D.∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0≥0 解析　全称命题的否定是特称命题. 全称命题：∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0的否定是特称命题：∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0. 答案　C 5.命题“零向量与任意向量共线”的否定为__________________________. 解析　命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为特称命题“有的向量与零向量不共线”. 答案　有的向量与零向量不共线 基础过关 1.下列命题中，为真命题的全称命题是(　　) A.对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0 B.菱形的两条对角线相等 C.∃x，＝x D.对数函数在定义域上是单调函数 解析　A中含有全称量词“任意”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，是假命题；B，D在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等；C是特称命题，所以选D. 答案　D 2.下列命题中的假命题是(　　) A.∀x∈R，2x－1>0 B.∀x∈N*，(x－1)2>0 C.∃x0∈R，lg x0<1 D.∃x0∈R，tan x0＝2 解析　A中命题是全称命题，易知2x－1>0恒成立，故是真命题；B中命题是全称命题，当x＝1时，(x－1)2＝0，故是假命题；C中命题是特称命题，当x＝1时，lg x＝0，故是真命题；D中命题是特称命题，依据正切函数定义，可知是真命题. 答案　B 3.已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)ex>1，则綈p为(　　) A.∃x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1 B.∃x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1 C.∀x>0，总有(x＋1)ex≤1 D.∀x≤0，总有(x＋1)ex≤1 解析　“∀x>0，总有(x＋1)ex>1”的否定是“∃x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1”.故选B. 答案　B 4.命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是________. 解析　特称命题的否定是全称命题，故“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是“对任意的x∈R，2x＞0”. 答案　对任意的x∈R，2x＞0 5.命题“对任意x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________________________________. 解析　由定义知命题的否定为“存在x0∈R，使得|x0－2|＋|x0－4|≤3”. 答案　存在x0∈R，使得|x0－2|＋|x0－4|≤3 6.写出下列命题的否定，并判断真假. (1)p：∀x∈R，x2－x＋≥0； (2)q：所有的正方形都是矩形； (3)r：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0. 解　(1)非p：∃x0∈R，x－x0＋＜0，假命题. ∵∀x∈R，x2－x＋＝≥0， ∴非p是假命题. (2)非q：有的正方形不是矩形，假命题. (3)非r：∀x∈R，x2＋2x＋2＞0，真命题. ∵∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1＞0， ∴非r是真命题. 7.已知命题p：∀x∈R，4x－2x＋1＋m＝0，若綈p是假命题，求实数m的取值范围. 解　∵綈p是假命题， ∴p是真命题. 也就是∀x∈R，有m