第四讲 充分条件与必要条件(提升训练)-2020-2021学年高一年级数学基础讲练（人教A版2019必修第一册）

第四讲 充分条件与必要条件 1．设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选D　当数列{an}的首项a1＜0时，若q＞1，则数列{an}是递减数列；当数列{an}的首项a1＜0时，要使数列{an}为递增数列，则0＜q＜1，所以“q＞1”是“数列{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件．故选D. 2．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么(　　) A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C．丙是甲的充要条件 D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 解析：选A　因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲． 又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙 丙，如图． 综上，有丙⇒甲，但甲丙， 即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件． 3．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　) A．a＝－b　　　　　　 　B．a∥b C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b| 解析：选C　对于A，当a＝－b时，≠；对于B，注意当a∥b时，与可能不相等；对于C，当a＝2b时，＝＝；对于D，当a∥b，且|a|＝|b|时，可能有a＝－b，此时≠.综上所述，使＝成立的充分条件是a＝2b.　 4．设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　φ＝0时，函数f(x)＝cos(x＋φ)＝cos x是偶函数， 而f(x)＝cos(x＋φ)是偶函数时，φ＝π＋kπ(k∈Z)． 故“φ＝0”是“函数f(x)＝cos(x＋φ)为偶函数”的充分不必要条件． 5．使|x|＝x成立的一个必要不充分条件是(　　) A．x≥0 B．x2≥－x C．log2(x＋1)>0 D．2x<1 解析：选B　∵|x|＝x⇔x≥0， ∴选项A是充要条件．选项C，D均不符合题意． 对于选项B，∵由x2≥－x得x(x＋1)≥0， ∴x≥0或x≤－1. 故选项B是使|x|＝x成立的必要不充分条件． 6．如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的__________条件． 解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即A⇒/ B. 又因否命题为真，所以逆命题为真，即B⇒A， 所以A是B的必要不充分条件． 答案：必要不充分 7．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________． 解析：p：x>1，若p是q的充分不必要条件，则p⇒q，但，也就是说，p对应集合是q对应集合的真子集，所以a<1. 答案：(－∞，1) 8．下列命题： ①“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要条件； ②b2－4ac<0是一元二次不等式ax2＋bx＋c<0解集为R的充要条件； ③“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充分不必要条件； ④“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件． 其中真命题的序号为______________． 解析：①x>2且y>3时，x＋y>5成立，反之不一定，如x＝0，y＝6.所以“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充分不必要条件； ②不等式解集为R的充要条件是a<0且b2－4ac<0，故②为假命题； ③当a＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则＝，∴a＝2.因此，“a＝2”是“两直线平行”的充要条件； ④lg x＋lg y＝lg(xy)＝0，∴xy＝1且x>0，y>0. 所以“lg x＋lg y＝0”成立，xy＝1必成立，反之不然． 因此“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件． 综上可知，真命题是④. 答案：④ 9．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件． (1)p：|x|＝|y|，q：x＝y； (2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形； (3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形； (4)p：圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，q：c2＝(a2＋b2)r2. 解：(1)∵|x|＝|y|x＝y，但x＝y⇒|x|＝|y|， ∴p是q的必要不充分条件． (2)∵△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形， △ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形， ∴p是q的既不充分也不必要条件． (3)∵四边形的对角线互相平分四边形是矩形， 四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分， ∴p是q的必要不充分条件． (4)若圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相