第四讲 充分条件与必要条件(基础训练)-2020-2021学年高一年级数学基础讲练（人教A版2019必修第一册）

第四讲 充分条件与必要条件 基 础 过 关 1.a<0，b<0的一个必要条件为(　　) A.a＋b<0 B.a－b>0 C.>1 D.<－1 解析　a＋b<0⇒a<0，b<0，而a<0，b<0⇒a＋b<0. 答案　A 2.已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　若直线a直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A. 答案　A 3.已知p：α≠β，q：cos α≠cos β，则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既是充分条件，也是必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　q⇒p成立，但p⇒/　q，∴p是q的必要不充分条件. 答案　B 4.设p：1<x<2，q：2x>1，则p是q成立的________条件. 解析　当1<x<2时，2<2x<4，∴p⇒q；但由2x>1，得x>0，∴q⇒p. 答案　充分不必要 5.设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的________条件. 解析　若q>1，则当a1＝－1时，an＝－qn－1，{an}为递减数列，所以“q>1” ⇒ “{an}为递增数列”；若{an}为递增数列，则当an＝－时，a1＝－，q＝<1，即“{an}为递增数列” ⇒ “q>1”. 答案　既不充分也不必要 6.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中p是q的充分条件，哪些命题中p是q的必要条件？ (1)若a是无理数，则a＋5是无理数； (2)若x＝3，则x2＝9； (3)若四边形的对角线相等，则四边形是平行四边形. 解　(1)因为命题“若a是无理数，则a＋5是无理数”是真命题，所以“a是无理数”是“a＋5是无理数”的充分条件； 又命题“若a＋5是无理数，则a是无理数”是真命题，所以“a是无理数”是“a＋5是无理数”的必要条件. (2)因为命题“若x＝3，则x2＝9”是真命题，所以“x＝3”是“x2＝9”的充分条件；又命题“若x2＝9，则x＝3”是假命题，因此“x＝3”不是“x2＝9”的必要条件. (3)因为命题“若四边形的对角线相等，则四边形是平行四边形”与命题“若四边形是平行四边形，则四边形的对角线相等”都是假命题，所以“四边形的对角线相等”既不是“四边形是平行四边形”的充分条件，也不是必要条件. 7.下列各题中，p是q的什么条件？说明理由. (1)p：△ABC中，b2>a2＋c2，q：△ABC为钝角三角形； (2)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形； (3)p：△ABC中，A≠30°，q：sin A≠. 解　(1)△ABC中，∵b2>a2＋c2，∴cos B＝<0，∴B为钝角，即△ABC为钝角三角形，反之，若△ABC为钝角三角形，B可能为锐角，这时b2<a2＋c2， ∴p⇒q，q⇒p，故p是q的充分不必要条件. (2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立， ∴p⇒q，q⇒p，故p是q的必要不充分条件. (3)转化为△ABC中sin A＝是A＝30°的什么条件. ∵A＝30°⇒sin A＝，但是sin A＝⇒A＝30°， ∴△ABC中sin A＝是A＝30°的必要不充分条件， 即p是q的必要不充分条件. 8.设a，b为实数，那么“0<ab<1”是“a<或b>”的什么条件？ 解　∵0<ab<1，∴a，b同号，且ab<1. ∴当a>0，b>0时，a<；当a<0，b<0时，b>. ∴“0<ab<1”是“a<或b>”的充分条件. 而取a＝－1，b＝1，显然有a<，但不能推出0<ab<1， 故“0<ab<1”是“a<或b>”的充分而不必要条件. 能 力 提 升 9.一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分但不必要条件是(　　) A.a<0 B.a>0 C.a<－1 D.a<1 解析　∵一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一负根. ∴即⇔a<0. 本题要求的是充分不必要条件，由于{a|a<－1}{a|a<0}，故选C. 答案　C 10.设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”成立的充分但不必要条件是(　　) A.x＋y＝2 B.x＋y>2 C.x2＋y2>2 D.xy>1 解析　对于选项A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但命题不成立；对于选项C、D，当x＝－2，y＝－3时，满足x2＋y2>2，xy>1，但命题不成立，也不符合题意. 答案　B 11.不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要条件是－2<x<－1，则a的取值范围是________.