沪教版（上海）数学高二上册-7.5 数学归纳法的应用 课件

高二上册（沪教版） 第7章数列与数学归纳法 二 数学归纳法 7.5数学归纳法的应用 （第一课时） 数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。 其格式主要有两个步骤、一个结论: （1）验证当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确； 验证初始条件 （2）假设n=k时结论正确，在假设之下，证明n=k+1时结论也正确； 假设推理 （3）由（1）、（2）得出结论. 点题 找准起点 奠基要稳 用上假设 递推才真 写明结论 才算完整 一、数学归纳法定义： 例：是否存在常数a、b,使得等式: 对一切正整数n都成立,并证明你的结论. 解:令n=1,2,并整理得 以下用数学归纳法证明: (1)当n=1时,由上面解法知结论正确. (1)数学归纳法证明等式问题： 二、数学归纳法应用举例： (2)假设当n=k时结论正确,即: 则当n=k+1时, 故当n=k+1时,结论也正确. 根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确. (2)数学归纳法证明整除问题： 例 ：用数学归纳法证明: 当n为正偶数时,xn-yn能被x+y整除. 证:(1)当n=2时,x2-y2=(x+y)(x-y),即能被x+y整除,故命 题成立. (2)假设当n=2k时,命题成立,即x2k-y2k能被x+y整除. 则当n=2k+2时,有 都能被x+y整除. 故x2k+2-y2k+2能被x+y整除,即当n=2k+2时命题成立. 由(1)、(2)知原命题对一切正偶数均成立. 分组训练（讨论）： 1、用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列， 则an=a1+(n-1)d对于一切n∈N*都成立。 2、用数学归纳法证明 1+3+5+…+(2n1)=n2 1．用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列， 则an=a1+(n-1)d对于一切n∈N*都成立。 证明: (1)当n=1时,左边=a1,右边=a1 +（1-1)·d=a1, ∴ 当n=1时，等式成立 (2)假设当n=k时等式成立， 即 ak=a1+(k-1)d 则当n=k+1时 ak+1 = ak+d = a1+(k-1)