沪教版（上海）数学高二上册-7.5 数学归纳法及其应用 教案

数学归纳法及其应用 【教学目标】 1．构建用数学归纳法证明问题的“两步一结论”的正确模式，掌握数学归纳法的一般步骤． 2．达到90%的学生会用数学归纳法证明与正整数有关的简单命题和整除性问题． 3．知道数学归纳法的基本原理，感受数学的抽象美和内在美． 4．体会递推、归纳等数学思想和方法． 【教学重点与难点】 重点：数学归纳法证明命题的一般步骤． 难点：正确理解第二步递推思想的实质． 【教学过程】 同学们，反证法、数学归纳法都是我们学过的数学证明的方法．数学归纳法是证明与正整数 有关的数学命题的一种有效推理方法．你还记得数学归纳法的一般步骤吗？我们先看看《考试手册》上的要求． 一、点击《考试手册》 记忆水平——知道数学归纳法的基本原理； 探究性理解水平——掌握数学归纳法的一般步骤，并会用于证明与正整数有关的简单命题和整除性问题． 二、温故知新 1．数学归纳法的一般步骤： （i） 证明 当 取第一个值 （ ，例如 或 等）时，命题成立； （ii） 假设 当 时命题成立， 证明 当 命题也成立； 根据（i）（ii）可以断定，命题对于从 开始的所有正整数 都成立． 问题1：为什么根据（i）（ii）可以断定，命题对于从 开始的所有正整数 都成立？ 回答：当 EMBED Equation.DSMT4 时命题成立，可以推出 EMBED Equation.DSMT4 时命题成立，当 EMBED Equation.DSMT4 时命题成立，可以推出 EMBED Equation.DSMT4 时命题成立，……． 问题2：你觉得数学归纳法的基本原理是什么？ 2．数学归纳法的基本原理：先验证使结论有意义的最小的正整数 ，如果当 时，命题成立，再假设当 时，命题成立，（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出 时，命题也成立，那么就可以推出对所有不小于 的正整数 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ，命题都成立，即命题 真命题 真命题 真命题 真． 数学归纳法的实质是把一个命题的证明转化为相应递推命题的证明，其基本思想是一种递推思想． 3．数学归纳法的理解： 思考1．用数学归纳法证明命题： ． 下面的证明过程是否正确，若不正确，请说明理由． 证明：假设 时命题成立，即 ， 则当 时， ＝ ，命题也成立． 所以 对任何 都成立． 解