第14讲指数函数的图像与性质（应用）-【新教材】沪教版（2020）高中数学必修第一册知识点提升训练（学生版+教师版）

高一秋季同步数学讲义 “指数函数的图像与性质（应用）” 知识定位 理解指数函数的定义，熟练掌握指数函数的图像和性质，重点掌握求复合函数性质的方法，能解决相关的综合及应用问题。 知识梳理 一、定义：函 数 称指数函数， 注意点：底数大于0且不等于1；幂指数为单一自变量x；系数为1，无其它项 1）函数的定义域为R；2）函数的值域为 ； 3）当 时函数为减函数，当 时函数为增函数。 二、函数图像与性质： 1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限； 2）指数函数都以 轴为渐近线（当 时，图象向左无限接近 轴，当 时，图象向右无限接近 轴）； 3）对于相同的 ，函数 的图象关于 轴对称 三、指数函数比较大小总结： 1）对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性 2）对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较，可以利用比商法 3）对于底数和指数都不同的两个幂，应该通过中间值来判断，通常为0或者 4、 指数函数的的平移 （1）函数 的图像向左移动m（m>0）个单位,得 （2）函数 的图像向右移动m（m>0）个单位,得 （3）函数 的图像向上移动n（n>0）个单位,得 （4）函数 的图像向下移动n（n>0）个单位,得 规律:“左加右减，上加下减”，指数函数平移后得到复合函数。 五、指数函数的复合函数 复合函数：对于函数y=f（u），u=g（x），设f（u）的定义域为D，g（x）的值域为M，若M(D，则函数y=f[g（x）]称为复合函数。 复合函数单调性：“同增异减”。 指数函数复合函数两种类型y=f（ax）与y=af(x) 指数函数复合函数单调性求法：先将函数分解成内外函数，然后分别判断内外函数的单调性，利用“同增异减”法则。 指数函数复合函数值域求法：换元法，形如y=f（ax）令t=ax；形如y=af(x)的函数令t=f（x）。 例题精讲 【题目1】 已知a＝ ，b＝ ，C= 则a，b，c三者的大小关系是(    ) A.b>c>a B.b>a>c C.a>b>c D.c>b>a 【答案】A 【解析】由指数函数的单调性可知y= 是单调递减的所以 < 即a<c<1;y= 是单调增的，所以y= > =1，即可知A正确 【知识点】指数函数的图像与性质(应用) 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【题目2】 设x1，x2是函数f（x）=ax（a＞1）定义域内的两个变量，且x1＜x2，设m＝ ．那么下列不等式恒成立的是（　　） A．|f（m）-f（x1）|＞|f（x2）-f（m）| B．|f（m）-f（x1）|＜|f（x2）-f（m）| C．|f（m）-f（x1）|=|f（x2）-f（m）| D．f(x1)f(x2)＞f2(m) 【答案】B 【解析】先把f（x）=ax（a＞1）图像画出来（定义域为x∈R），令（x1，y1）为A点，（xm,ym） 为B点，（xc，yc）为c点， ∵丨m-x1丨=丨x2-m丨= ； 那么直线AB的斜率KAB= ，直线BC的斜率KBC= ，由图上看出，KBC>KAC，∴ > ， ∴ > ∴丨f（x2）-f（m）丨>丨f（m）-f（x1）丨 【知识点】指数函数的图像与性质(应用) 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【题目3】某钢厂的年产量由1990年的40万吨增加到2000年的50万吨，如果按照这样的年增长率计算，则该钢厂2010年的年产量约为（　　） A.60万吨 B.61万吨 C.63吨 D.64万吨 【答案】C 【解析】设年增长率为a，则从1990年到2000年，50=40（1+a）10 ∴（1+a）10=1.25 那么从2000年到2010年，y=50（1+a）10=50*1.25=62.5≈63 【知识点】指数函数的图像与性质(应用) 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【题目4】已知函数y=f（x）=1-2 - （a>0且a≠1） （1）求函数f（x）的值域； （2）若x∈[-2，1]时，函数f（x）的最小值为-7，求a的值和函数f（x）的最大值。 【答案】（1）（-∞，1）；（2）a=2或a= ；当a=2时f（x）的最大值为 ；当a= 时f（x）的最大值为 - 。 【解析】题解析：设 =t>0，y=-t2-2t+1=-（t+1）2+2  ∵t=-1∉（0，+∞）∴y=-t2-2t+1在（0，+∞）上为减函数。 ∴y<1，所以值为（-∞，1）   （2）①当a>1时，∵x∈[-2,1]a>1∴t∈[ ,a] 由t=-1∉[ ,a]