21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系-【新教材完全解读】初中九年级上册数学教学教案（人教版）

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 1.理解一元二次方程根与系数之间关系的推导过程. 2.掌握一元二次方程根与系数的关系. 3.能够不解方程,应用根与系数之间的关系解决问题. 1.通过学生自己探究,发现根与系数的关系,培养学生观察思考、归纳概括能力和探究精神. 2.通过探究学习,让学生体会从特殊到一般,再从一般到特殊的解决问题的思路. 3.让学生经历观察、实验、猜想、证明的数学活动过程,发展推理能力,培养创新精神. 1.通过情境教学,激发学生求知欲望,培养积极的学习态度. 2.通过对根与系数之间的关系的探究,体会事物之间的联系,更好地认识世界. 3.体验教学活动充满着探索和创造,享受成功的快乐,增强自信心. 【重点】 1.一元二次方程的根与系数之间的关系. 2.根据根与系数之间的关系解决问题. 【难点】 探究一元二次方程的根与系数之间的关系的过程. 【教师准备】 多媒体课件1~4. 【学生准备】 预习本节课学习内容. 导入一: 我们知道生活中许多事物存在着一定的规律,有人发现并验证后就得到伟大的定理,比如, 抛出的重物总会落下—万有引力定律(牛顿);电路中的电流、电压、电阻存在一定关系:U=IR—欧姆定律(欧姆).而我们数学学科中更蕴藏着大量的规律,比如,直角三角形的三边a,b,c满足关系: a2+b2=c2—勾股定理(毕达哥拉斯).那么一元二次方程中是否也存在什么规律呢?今天我们共同去探究,感受一次当科学家的滋味. 导入二: 【课件1】 完成下列表格: 方程 x1 x2 x1+x2 x1·x2 x2-5x+6=0 2 5 x2+3x-10=0 -3 [设计意图] 让学生感受到数学和其他学科一样,里边有很多有价值的规律等待我们去探索,激发学生的学习兴趣、探究欲望.学生通过填表,既复习了解方程的一般方法,又为探究根与系数之间的关系做铺垫. 一、探究活动1 观察导入二中的表格,思考问题. (1)通过观察,你发现什么规律? (2)语言叙述你发现的规律. (3)设x2+px+q=0的两根为x1,x2,用式子表示你发现的规律. 【师生活动】 小组讨论,共同探究,教师对有困难的学生进行指导. 方程x2+px+q=0的两根为x1,x2,则x1+x2=-p,x1x2=q. 二、探究活动2 思路一 【课件2】 完成下列表格: 方程 x1 x2 x1+x2 x1·x2 2x2-3x-2=0 2 -1 3x2-4x+1=0 1 填表,思考下列问题. (1)上面发现的结论在这里成立吗? (2)你能发现两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系吗? (3)用语言叙述你发现的规律. (4)进一步猜想:方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1,x2与a,b,c之间的关系. (5)你能证明上面的猜想吗?请证明,并用文字语言叙述说明. 【师生活动】 小组合作交流,共同探究,教师及时指导,学生把最后猜想及证明过程板书. 思路二 (1)回忆用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么; (2)用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0). 【师生活动】 学生独立完成,小组交流答案,及时纠错,并小组板书解答过程,教师对计算有困难的学生进行指导. (3)分别计算x1+x2, x1x2的值是多少. 【师生活动】 学生板书,教师与学生一起点评. 【课件3】 根据求根公式,得x1=,x2=, ∴x1+x2===-, x1x2=·==. [设计意图] 学生经历“实践、观察、发现、猜想、证明”的过程,使学生既动手、动脑,又动口,教师引导启发,避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系,体现学生的主体学习特性,培养学生的推理能力和创新精神. 归纳总结:根据探究活动2,一元二次方程的根与系数之间有什么关系?(用语言叙述) 【师生活动】 学生尝试归纳,教师补充总结: 一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数,两个根的积等于常数项与二次项系数的比. 一元二次方程的根与系数之间的关系(韦达定理): 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,则x1+x2=-,x1x2=. [设计意图] 注重学生的反思与归纳过程,使学生将知识系统化、格式化,使学生归纳总结能力得到提升. 三、例题讲解 【课件4】 (教材例4)根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程两个根x1,x2的和与积: (1)x2-6x-15=0; (2)3x2+7x-9=0; (3)5x-1=4x2. 【师生活动】 学生独立完成后抢答. (1)x1+x2= ,x1x2= . (2)x1+x2= ,x1x2= . (3)x1+x2= ,x1x2=