第3章不等式【章末复习】-2020-2021学年高一数学单元复习（苏教版2019必修第一册）

第3章 不等式复习课 一、不等式的性质及应用 1．不等式的性质常用来比较大小、判断与不等式有关的命题的真假和证明不等式，防止由于考虑不全面出现错误，有时也可结合特殊值法求解． 2．通过不等式的性质，提升数学抽象和逻辑推理素养． 例1已知实数，满足，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，，, 则 又，因此，故本题选B. 跟踪训练1　(1)若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是(　　) A．A≤B B．A≥B C．A<B或A>B D．A>B 【答案】B 【解析】∵A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)＝a2＋b2－ab＝2＋b2≥0，∴A≥B. 　(2)若a>b，x>y，下列不等式正确的是(　　) A．a＋x<b＋y B．ax>by C．|a|x≥|a|y D．(a－b)x<(a－b)y 【答案】C 【解析】因为当a≠0时，|a|>0，不等式两边同乘以一个大于零的数，不等号方向不变；当a＝0时，|a|x＝|a|y，故|a|x≥|a|y. 反思感悟　不等式性质的应用方法 (1)作差法比较大小的关键是对差式进行变形，变形的方法一般是通分、分解因式、配方等． (2)不等式真假的判断，要依靠其适用范围和条件来确定，举反例是判断命题为假的一个好方法，用特例法验证时要注意，适合的不一定对，不适合的一定错，故特例只能否定选择项． 二、一元二次不等式的解法 1．对于实数的一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解． 2．借助不等式的解法，培养逻辑推理和数学运算素养． 例2. 已知关于x的不等式． （1）若不等式的解集是，求的值； （2）若，，求此不等式的解集． 【答案】（1）；（2）分类讨论，答案见解析． 【解析】（1）由题意知，且1和5是方程的两根， ∴，且， 解得，，∴． （2）若，，原不等式为， ∴，∴． ∴时，，原不等式解集为， 时，，原不等式解集为， 时，，原不等式解集为， 综上所述：当时，原不等式解集为， 当时，原不等式解集为． 当时，原不等式解集为． 跟踪训练2 (1) 若不等式ax2＋5x－2>0的解集是， (1)求a的值； (2)求不等式>a＋5的解集． 【答案】{x|－2<x<－1} 【解析】(1)依题意，可得ax2＋5x－2＝0的两个实数根为和2， 由根与系数的关系，得解得a＝－2. (2)将a＝－2代入不等式，得>3， 即－3>0， 整理得 (x＋1)(x＋2)<0， 解得－2<x<－1， 则不等式的解集为{x|－2<x<－1}． (2)已知x2＋ax－a≥0恒成立，则实数a的取值范围是________． 【答案】－4≤a≤0 【解析】由题意可得Δ＝a2＋4a≤0，解得－4≤a≤0. 反思感悟　对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏． 三、基本不等式及应用 1．基本不等式：≤(a>0，b>0)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧，另外，基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现． 2．借助基本不等式的应用，提升数学抽象和数学运算素养． 例3　(1)若0<x<2，则x(2－x)的最大值是(　　) A．2 B. C．1 D. 【答案】C　 【解析】因为0<x<2， 所以2－x>0，x(2－x)≤2＝1， 当且仅当x＝2－x，即x＝1时，等号成立． (2)已知x>0，y>0，且x＋3y＝1，则的最小值是________． 【答案】2＋4　 【解析】x>0，y>0，且x＋3y＝1. ＝＝＝＋4≥＋4＝2＋4. 当且仅当x＝y，x＋3y＝1， 即y＝＝，x＝＝时取等号．的最小值是2＋4. 反思感悟　利用基本不等式求最值的关注点 (1)注意寻求已知条件与目标函数之间的联系． (2)利用添项和拆项的配凑方法，使积(和)产生定值．特别注意“1”的代换． 跟踪训练3　(1)已知函数y＝x－4＋(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＝________；b＝________. 【答案】2　1 【解析】y＝x－4＋＝(x＋1)＋－5， 因为x>－1，所以x＋1>0， 所以y≥6－5＝2×3－5＝1， 当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立，此时a＝2，b＝1. (2)已知实数满足，求的最大值. 【答案】 【解析】∵，∴， ∴， ∴. 例4 设是正实数，且，则的最小值是______