专题3.6大题能力提升考前必做30题-2020-2021学年八年级数学上学期期中考试高分直通车【北师大版】

2020-2021学年八年级数学上学期期中考试高分直通车【北师大版】 专题3.6大题能力提升考前必做30题 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一．解答题（共30小题） 1．（2020春•闽侯县期中）计算： （1）4； （2）（2）（2） 【分析】（1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后去合并即可； （2）利用平方差公式计算． 【解析】（1）原式＝432 ＝5； （2）原式＝12﹣6 ＝6． 2．（2019秋•永安市期中）阅读下列解题过程：1；；；… 则：（1）　3　； （2）观察上面的解题过程，请直接写出式子　　； （3）利用这一规律计算：（）（1）的值 【分析】（1）根据题目中的例子，可以求得所求式子的值； （2）根据题目中的例子，可以写出所求式子的值； （3）根据题目中式子的特点，可以求得所求式子的值． 【解析】（1）3， 故答案为：3； （2）， 故答案为：； （3）（）（1） ＝（）（1） ＝（1）（1） ＝2019﹣1 ＝2018． 3．（2019秋•富阳区期中）[阅读材料] ∵，即23， ∴11＜2． ∴1的整数部分为1 ∴1的小数部分为2 [解决问题] （1）填空：的小数部分是　2　； （2）已知a是的整数部分，b是的小数部分，求代数式的平方根为　±3　． 【分析】（1）由于4＜7＜9，可求的整数部分，进一步得出的小数部分； （2）先求出的整数部分和小数部分，再代入代数式进行计算即可． 【解析】（1）∵4＜7＜9， ∴的整数部分是2， ∴的小数部分是； （2）∵a是的整数部分，b是的小数部分， 9＜10＜16， ∴a＝3，b， ∴9， 9的平方根为±3． 故答案为：；±3． 4．（2019春•庐阳区校级期中）阅读材料：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似例如计算： （2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1 ②若他们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如1+2i的共轭复数为1﹣2i． （1）填空：（3i﹣2）（3+i）＝　7i﹣9　；（1+2i）3（1﹣2i）3＝　125　； （2）若a+bi是（1+2i）2的共轭复数，求（b﹣a）a的值； （3）已知（a+i）（b+i）＝1﹣3i，求（a2+b2）（i2+i3+i4+…+i2019）的值． 【分析】（1）按照定义计算即可； （2）先按照完全平方式及定义展开运算，求出a和b的值，再代入要求得式子求解即可； （3）按照定义计算ab及a+b的值，再利用配方法得出（a2+b2）的值；由于i2+i3+i4+i5＝﹣1﹣i+1+i＝0，4个一组，剩下两项，单独计算这两项的和，其余每相邻四项的和均为0，从而可得答案． 【解析】（1）（3i﹣2）（3+i）＝9i﹣3﹣6﹣2i＝7i﹣9 （1+2i）3（1﹣2i）3＝[（1+2i）（1﹣2i）]3＝（1﹣4i2）3＝（1+4）3＝125 故答案为：7i﹣9；125． （2）∵（1+2i）2＝1+4i+4i2＝1+4i﹣4＝﹣3+4i 又a+bi是（1+2i）2的共轭复数 ∴a＝﹣3，b＝﹣4 ∴（b﹣a）a＝（﹣4+3）﹣3＝﹣1 ∴（b﹣a）a的值为﹣1． （3）∵（a+i）（b+i）＝1﹣3i ∴ab+（a+b）i﹣1＝1﹣3i ∴ab﹣1＝1，a+b＝﹣3 ∴ab＝2，a+b＝﹣3 ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝9﹣2×2＝5 ∵i2+i3+i4+i5＝﹣1﹣i+1+i＝0， i2+i3+i4+…+i2019有2018个加数，2018÷4＝504…2 ∴i2+i3+i4+…+i2019＝0+i2018+i2019＝i2016•i2+i2016•i3＝﹣1﹣i ∴（a2+b2）（i2+i3+i4+…+i2019）＝5（﹣1﹣i）＝﹣5﹣5i． 5．（2019春•汉阳区期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2（1）2，善于思考的小明进行了以下探索：设ab＝（mn）2（其中a，b，m，n均为正整数），则有ab＝m2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把ab化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题． （1）当a、b、m、n均为正整数时，若ab＝（mn）2，用含m、n的式子分别表示a、b，则a＝　m2+3n2　，b＝　2mn　；