2 矩形的性质与判定（第3课时）-【新教材完全解读】初中九年级上册数学教学教案（北师大版）

第课时 1.矩形的性质与判定方法的应用. 2.在复习的过程中,提升推理论证能力,通过复习,提高学生运用知识的能力. 通过对前2个课时知识的复习,感悟在证明过程中所运用的归纳、转化等数学方法. 通过观察、讨论、交流、归纳等数学活动加深对本课时知识的理解,发展学生的数学思维,增强学生学好数学的愿望与信心. 【重点】 矩形的有关性质与判定方法. 【难点】 如何运用矩形的性质与判定来解决问题. 【教师准备】 预想学生证明过程中容易出错的地方. 【学生准备】 矩形的性质与判定的整理. 导入一: 回答下列问题. 问题1 矩形有哪些性质? 问题2 如何判定一个平行四边形是矩形? 问题3 如何判定一个四边形是矩形? [处理方式] 3个问题由学生口答完成,在学生口答时先让学生叙述出文字语言,再让学生结合图形说出如何用数学符号来表达矩形的性质及判定,教师适时点评、矫正. [设计意图] 通过对矩形的性质及判定的复习,使学生进一步加深对矩形的性质及判定的理解,为新课的学习做好铺垫. 导入二: [过渡语] 马虎同学的作业中有这样一道题目: 如图所示,四边形ABCD中, (1)∵四边形ABCD是矩形,∴AB＝BC＝CD＝DA,OA＝OB＝OC＝OD. (2)∵AB＝CD,AC＝BD,OA＝OC,OB＝OD,∴四边形ABCD是矩形. 同学们帮助他看一下有没有错误,如果有,你能改正过来吗? [处理方式] 教师适时提出问题,着重针对矩形的性质与判定展开,问题由学生口答完成,在学生口答时先让学生叙述出文字语言,再让学生结合图形说出如何用数学符号来表达矩形的性质及判定,教师适时点评、矫正. [设计意图] 通过改错的形式对矩形的性质及判定进行复习,激发学生的兴趣,同时进一步加深对矩形的性质及判定的理解,为新课的学习打好基础. [过渡语] 你能利用矩形的性质解决下面的问题吗? 一、矩形性质的应用 (教材例3)如图所示,在矩形ABCD中,AD＝6,对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BD,垂足为E,ED＝3BE.求AE的长. 〔解析〕 先根据矩形的对角线相等且互相平分可得OB＝OD,然后得出OE＝BE,进而判断出ΔABO是等边三角形,再根据等边三角形的性质求出∠ABO＝60°,进而得出∠ADB＝30°,最后根据AE＝AD计算即可得解. [处理方式] 先给学生10秒钟时间分析例3中的图形特点及已知条件,再分别口述解题思路,教师板书.在学生口述的过程中,教师可进行有针对性的提问,让学生明确每一步的依据. 解:∵四边形ABCD是矩形, ∴AO＝BO＝DO＝BD(矩形的对角线相等且互相平分),∠BAD＝90°(矩形的四个角都是直角). ∵ED＝3BE,∴BE＝OE. 又∵AE⊥BD,∴AB＝AO. ∴AB＝AO＝BO,即ΔABO是等边三角形. ∴∠ABO＝60°. ∴∠ADB＝90°-∠ABO＝90°-60°＝30°. 在RtΔAED中,∵∠ADE＝30°,∴AE＝AD＝×6＝3. 【解题策略】 本题考查了矩形的性质,等边三角形的判定与性质,主要利用了矩形的对角线相等且互相平分的性质,熟记性质是解题的关键. 【变式训练1】 如图所示,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点A作AE⊥BD,垂足为点E,若ED＝3EO,AE＝2,求BD的长. [处理方式] 让一名学生主动到黑板板演,其他学生在练习本上完成.教师巡视,适时点拨.学生完成后及时点评,借助投影图片展示学生出现的问题并进行矫正.可展示学生解法的多样性,拓展学生的思路. [过渡语] 你能判定一个四边形是矩形吗? 二、矩形判定的应用 (教材例4)已知:如图所示,在ΔABC中,AB＝AC,AD是ΔABC的一条角平分线,AN为ΔABC的外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为E.求证:四边形ADCE是矩形. 〔解析〕 要想说明一个四边形是矩形,可以选择说明这个四边形的三个角是直角或先说明它是一个平行四边形,再说明对角线相等. [处理方式] 学生思考并分析题意,通过交流讨论,得出证明的方向.由一名学生板演,其余学生在练习本上完成,然后借助投影图片展示并矫正问题、规范解题. 证明:∵AD平分∠BAC,AN平分∠CAM, ∴∠CAD＝∠BAC,∠CAN＝∠CAM. ∴∠DAE＝∠CAD＋∠CAN＝(∠BAC＋∠CAM)＝×180°＝90°. 在ΔABC中,∵AB＝AC,AD为∠BAC的平分线,∴AD⊥BC.∴∠ADC＝90°. ∵CE⊥AN,∴∠CEA＝90°. ∴四边形ADCE是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形). 【变式训练2】 在例4中,连接DE,交AC于点F,如图所示. (1)试判断四边形ABDE的形状,并证明你的结论; (2)线段DF与AB