2 用配方法求解一元二次方程（第1课时）-【新教材完全解读】初中九年级上册数学教学教案（北师大版）

2　用配方法求解一元二次方程 1.会用配方法解一元二次方程. 2.了解用配方法解一元二次方程的步骤. 1.理解并掌握配方法. 2.通过探索配方法解一元二次方程的过程,体会转化等数学思想. 能利用一元二次方程解决实际问题,并增强学生的数学应用意识和能力. 【重点】 利用配方法解一元二次方程. 【难点】 理解配方法的过程. 第课时 1.会用直接开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程. 2.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程. 经历探索利用配方法解一元二次方程的过程,体会转化的数学思想. 在独立思考和合作探究的过程中,体会数学的价值,增强数学应用意识和能力. 【重点】 利用配方法解一元二次方程. 【难点】 把一元二次方程通过配方转化为(x＋m)2＝n(n≥0)的形式. 【教师准备】 预设教学过程中学生可能出现的问题. 【学生准备】 复习有关完全平方式的知识. 导入一: 1.在上一节的问题中,梯子底端滑动的距离x(m)满足方程x2＋12x-15＝0,我们已经求出了x的近似值,你能设法求出它的精确值吗? 2.你会解下列一元二次方程吗?你是怎么做的? (1)x2＝5; (2)2x2＋3＝5; (3)x2＋2x＋1＝5; (4)(x＋6)2＋72＝102. 解:(1)x2＝5⇒x＝±. (2)2x2＋3＝5⇒2x2＝2⇒2x2＝1⇒x＝±1. (3)x2＋2x＋1＝5⇒(x＋1)2＝5⇒x＝-1±. (4)(x＋6)2＋72＝102⇒(x＋6)2＝51⇒x＝-6±. 这些方程的共同点是什么呢? 归纳:这些方程都可以写成(x＋m)2＝n的形式,它的一边是一个完全平方式,另一边是一个常数,当n≥0时,两边同时开平方,转化为一元一次方程,便可求出它的根.这种求根的方法叫直接开平方法. [设计意图] 通过介绍直接开平方法,让学生了解配方法解一元二次方程的理论基础,配方的基本知识和方法,为熟练掌握配方法解一元二次方程打下基础. 导入二: 1.你会解下列方程吗?试一下. (1)x2＝9; (2)4x2＝7; (3)(x-2)2-9＝0. 2.解上面几个方程的时候用到了什么知识?你会解方程x2＋6x＋9＝25吗? 学生小组讨论,集体交流. 通过以上几个题,我们发现方程的一边可以整理成完全平方式,另一边是非负数的形式,然后利用开平方来解. 一、配方法 [过渡语] 如果我们要解的方程是x2＋12x-15＝0,该怎么办呢? 思路:把方程化成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式,两边开平方,便可求出方程的解. 填上适当的数,使下列等式成立. (1)x2＋12x＋ ＝(x＋6)2; (2)x2-4x＋ ＝(x- )2; (3)x2＋8x＋ ＝(x＋ )2. 在上面等式的左边,常数项和一次项系数有什么关系?(常数项等于一次项系数的一半的平方) 通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法. 二、配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤 [过渡语] 前面我们研究配方法解一元二次方程的基本方法,下面我们通过例题来总结一下用配方法解一元二次方程的基本步骤. (教材例1)解方程:x2＋8x-9＝0. 解:移项,得:x2＋8x＝9, 配方,得:x2＋8x＋42＝9＋42(两边同时加上一次项系数一半的平方), 即(x＋4)2＝25, 开平方,得x＋4＝±5, 即x＋4＝5或x＋4＝-5, 所以x1＝1,x2＝-9. [知识拓展] 利用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤:(1)移项:把常数项移到方程的右边;(2)配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方,使左边化成一个含有未知数的完全平方式的形式,右边为一常数;(3)开方:根据平方根的意义,方程两边开平方,使其化为一元一次方程;(4)求解:解一元一次方程;(5)定解:写出原方程的解. [设计意图] 抓住主要问题精讲,并总结规律,让学生根据规律去学习配方法解一元二次方程的过程,体会解方程的步骤. [过渡语] 刚刚我们学习了用配方法解一元二次方程的一般步骤,下面我们用刚学的方法来解决一个实际问题. 已知一面积为120 m2的矩形苗圃的长比宽多2 m,则苗圃的长和宽各是多少? 解:设矩形的宽为x m,则长为(x＋2)m, 依题意,得x(x＋2)＝120, 即x2＋2x＝120, 方程可化为(x＋1)2＝121, 解得x1＝10,x2＝-12(不合题意,舍去). 则x＋2＝10＋2＝12(m). 答:苗圃的长为12 m,宽为10 m. [设计意图] 通过配方法的应用