2 用配方法求解一元二次方程（第2课时）-【新教材完全解读】初中九年级上册数学教学教案（北师大版）

第课时 会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程. 经历探究求解一般形式的一元二次方程的过程,进一步理解配方法的意义. 通过用配方法将一元二次方程变形的过程,让 学生进一步体会转化的思想方法,并增强学生的数学应用意识和能力. 【重点】 掌握配方法解一元二次方程的过程. 【难点】 把一元二次方程转化为(x＋m)2＝n(n≥0)的形式. 【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 复习配方法解二次项系数为1的一元二次方程的过程. 导入一: 解方程:x2-6x-40＝0. 解:移项,得x2-6x＝40, 配方,得x2-6x＋32＝40＋32, 即(x-3)2＝49, 开平方,得x-3＝±7, 即x-3＝7或x-3＝-7, 所以x1＝10,x2＝-4. [设计意图] 通过解这个方程,使学生们顺畅地理清思路,掌握每一步的理论依据,增强了解题的信心. 导入二: 1.将下列各式填上适当的项,使其配成完全平方式. (1)x2＋2x＋ ＝(x＋ )2; (2)x2-4x＋ ＝(x- )2; (3)x2＋ ＋36＝(x＋ )2; (4)x2＋10x＋ ＝(x＋ )2; (5)x2-x＋ ＝(x- )2. 2.请同学们说出下列两个一元二次方程的联系与区别: (1)x2＋6x＋8＝0; (2)3x2＋18x＋24＝0. 探讨方程(2)应如何解. [设计意图] 通过第一部分的练习题的训练,使学生熟悉完全平方式的三项与二次三项式的联系,第二部分的两个方程之间的区别是方程(2)的二次项系数为3,不符合上节课解题的基本形式,联系是当方程(2)的两边同时除以3以后,这两个方程为同解方程.学生们做了方程的变形以后,对二次项系数不为1的方程的解法有了初步的感受和思路. 一、规律探究 [过渡语] 对于新出现的问题,我们可以通过转化的思想,把未知转化为已知来解决,这也是我们日常生活中常用的解决问题的方法. 解方程:3x2＋8x-3＝0. 思路:由于该方程不是(x＋m)2＝n(n≥0)的形式,因此不能用直接开平方法解,而且也不符合上节课学习的用配方法所解的方程的形式,但如果将方程两边同时除以二次项系数的话就和上节课所学的形式一样了,即方程两边同时除以3,得x2＋x-1＝0,再用上节课的知识解决即可. 总结:对于二次项系数不为1的一元二次方程,我们可以先将等式两边同时除以二次项系数,再利用配方法求解. [设计意图] 教师引导学生合理转化,渗透从“未知”到“已知”的转化过程. 二、配方法解一元二次方程的一般步骤 [过渡语] 前面我们研究配方法解一元二次方程的基本方法,下面我们通过例题来总结一下用配方法解一元二次方程的基本步骤. (教材例2)解方程:3x2＋8x-3＝0. 〔解析〕 将二次项系数化为1后,用配方法解此方程. 解:两边都除以3,得x2＋x-1＝0, 移项,得x2＋x＝1, 配方,得x2＋x＋＝1＋, 即, 开平方,得x＋＝±, 所以x1＝,x2＝-3. [设计意图] 抓住主要问题精讲,并总结规律,让学生根据规律去学习配方法解一元二次方程,体会解方程的步骤. [知识拓展] (1)利用配方法解一元二次方程的一般步骤:①方程两边同时除以二次项系数,将二次项系数化为1;②把常数项移到方程右边;③在方程的两边同时加上一次项系数的一半的平方,使左边成为完全平方式;④利用直接开平方法求解. (2)配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简.何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧,从而完成配方.有时也将其称为“配凑法”. (3)最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方,其依据是完全平方公式:(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2,将这个公式灵活运用,可得到各种基本配方形式,如:a2＋b2＝(a＋b)2-2ab＝(a-b)2＋2ab;a2＋ab＋b2＝(a＋b)2-ab＝(a-b)2＋3ab. (4)在应用配方法解一元二次方程时有两种做法:一种是先移走常数项,然后方程两边同时除以二次项系数,把二次项系数化为1,两边再同时加上一次项系数(除以二次项系数后的)一半的平方,把原方程化成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式,两边同时开方,把一元二次方程转化为一元一次方程.另一种是先移走常数项,通过“凑”与“配”进行配方. (5)配方法在二次代数式的讨论与求解中的应用也十分广泛. 【课件1】 解方程:2x2＋6x-3＝0. 解法1:移项,得2x2＋6x＝3, 两边同时除以2,得x2＋3x＝, 两边同时加上,得x2＋3x＋,即, 开平