3 用公式法求解一元二次方程（第1课时）-【新教材完全解读】初中九年级上册数学教学教案（北师大版）

3　用公式法求解一元二次方程 1.经历用配方法推导一元二次方程求根公式的过程,理解求根公式和根的判别式. 2.能用公式法解一元二次方程. 3.会用一元二次方程的根的判别式判断方程实数根的情况. 经历用一元二次方程解决简单实际问题的过程,体会数学建模思想,增强数学应用意识和能力. 在推导求根公式和利用根的判别式判断方程根的情况的过程中,强化推理技能训练,进一步发展演绎推理能力. 【重点】 一元二次方程的求根公式. 【难点】 一元二次方程的根的判别式与方程的根之间的关系. 第课时 会用公式法解一元二次方程. 体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程,明确运用公式求根的前提条件是b2-4ac≥0. 在公式的推导过程中,培养学生的符号感. 【重点】 1.掌握一元二次方程的求根公式,并应用它熟练地解一元二次方程. 2.根的判别式的运用. 【难点】 求根公式的使用. 【教师准备】 预设学生学习过程中遇到的困难. 【学生准备】 复习配方法解一元二次方程的步骤. 导入一: 用配方法解下列方程. (1)2x2＋3＝7x; (2)3x2＋2x＋1＝0. 学生在练习本上运算,可找同学上黑板演算,并由学生总结用配方法解一元二次方程的一般步骤. 解:(1)将方程化成一般形式:2x2-7x＋3＝0, 两边都除以二次项系数:x2-x＋＝0, 配方,得x2-x＋-＝0, 即-＝0,所以, 所以x-＝±,解得x1＝3,x2＝. (2)两边都除以二次项系数:x2＋x＋＝0, 配方,得x2＋x＋-＝0, 即＝0,所以＝-, 因为-<0,所以原方程无解. [设计意图] 进一步夯实用配方法解一元二次方程的一般步骤.在这里相对于书上的解题方法做了小小的改动,没有把常数项移到方程右边,而是在方程的左边直接加上再减去一次项系数(除以二次项系数后的)一半的平方.选择了一个没有解的方程,让学生切实感受到并不是所有的一元二次方程在实数范围内都有解. 导入二: 1.复习用配方法解一元二次方程的一般步骤. 2.如何解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)? [设计意图] 本环节复习了解一元二次方程的配方法,因为这是推导公式的基础,然后抛出了富有启发性的问题,激发学生的学习兴趣. 一、求根公式 思路一 [过渡语] 我们发现,利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的.因此,如果能用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0),得到根的一般表达式,那么再解一元二次方程时,就会方便简捷得多. 你能用配方法解方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)吗?请你试一试,并与同伴交流. 教师给出答案. 解:方程两边都除以a,得x2＋x＋＝0, 移项,得x2＋x＝-, 配方,得x2＋x＋＝-, 即, ∵a≠0,∴4a2>0, 当b2-4ac≥0时,x＋＝±, ∴x1＝,x2＝. 一般地,对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0),当b2-4ac≥0时,它的根是x＝,当b2-4ac<0时,一元二次方程无实数根. 上面这个式子称为一元二次方程的求根公式,用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法. [设计意图] 先让学生自己动手解答,在复习配方法解一元二次方程的同时,也让学生理解了求根公式.教师给出解答过程,让学生学会规范解答. 思路二 [过渡语] 同学们,下面我们共同来解一下一元二次方程的一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0). 解方程:ax2＋bx＋c＝0(a≠0). 解:两边都除以二次项系数:x2＋x＋＝0, 问:为什么可以两边都除以二次项系数a? 答:∵a≠0. 配方,得x2＋x＋-＝0, 即-＝0, ∴. 问:现在可以两边开平方吗? 答:不可以,∵不能保证≥0. 问:什么情况下≥0? 答:∵a≠0,∴4a2>0,要使≥0,只要b2-4ac≥0即可. 当b2-4ac≥0时,两边开平方,得x＋＝± ＝±, ∴x1＝,x2＝. 问:如果b2-4ac<0,会出现什么问题? 答:方程无解. 问:如果b2-4ac＝0呢? 答:此时＝0,x1＝x2＝-,即方程有两个相等的实数根. [设计意图] 学生能否自主推导出来公式并不重要,重要的是由学生亲身经历公式的推导过程,只有经历了这一过程,他们才能发现问题,汲取教训,总结经验,形成自己的认识,在集体交流的时候,才能有感而发. 二、根的判别式 [过渡语] 前面我们在推导求根公式的过程中发现一个问题:一元二次方程的根的情况与b2-4ac有关,我们再深入研究一下. 1.你能解一元二次方程x2-2x＋3＝0吗?你是怎么想的? 2.对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0),当b2-4ac<0时,它的根的情况是怎样的? 学生思考,与同伴交流,教师总结. 对于一元二次方程ax