2.3用公式法求解一元二次方程 自主学习同步练习题 2024-2025学年北师大版九年级数学上册

2024-2025学年北师大版九年级数学上册《2.3用公式法求解一元二次方程》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．在公式法解方程时，的值是（     ） A．16 B．24 C．72 D．64 2．是下列哪个一元二次方程的根（   ） A． B． C． D． 3．下列方程没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 4．已知a是一元二次方程的较小的根，则下面对a的估值正确的是（    ） A． B． C． D． 5．关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 6．在中，，，且关于x的方程有两个相等的实数根，边上的中线长为（   ） A．1 B． C．2 D． 7．等腰三角形的三边长分别为a、b、3，且a、b是关于x的一元二次方程的两个根，则n的值为（    ） A．17 B．18 C．17或18 D．9或18 8．设是方程的一个根，则和完全平方式的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 二、填空题 9．不解方程，可以判断它的根的情况是 ． 10．关于x的方程有两个相等的实数根，那么m的值为 11．关于的一元二次方程的根的判别式的值为24，则 ． 12．若关于x的一元二次方程必有一根为0，则 ；方程的另一根是 ． 13．关于x的一元二次方程判断它的根的情况是 ． 14．请写出一个正整数的值，使得关于的方程有实数根，那么的值可以是 ．（写出一个即可） 15．在中，，，，则 ． 16．已知关于x的一元二次方程．b、c可以分别取下列四组数值：①，，②，③，④；其中使这个方程有两个相等的实数根的是 ；没有实数根的是 ．(只填序号) 三、解答题 17．按要求解下列方程． (1)（用配方法解） (2)（用公式法解） 18．（1）解方程：； （2）若关于x的方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 19．若关于x的方程 是一元二次方程． (1)求m的值． (2)若该方程有两个相等的实数根，求n的值及此时方程的根． 20．已知关于x的一元二次方程的根的判别式为，求k的值和方程的根． 21．若关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“间根方程”．例如，方程的两个根是，则方程是“间根方程”． (1)方程是“间根方程”吗？判断并说明理由； (2)若关于的一元二次方程是“间根方程”． ①若，判断方程根的情况，并说明理由； ②若，且是方程的一个根，求的值． 22．已知关于的一元二次方程 (1)试判断上述方程根的情况． (2)已知的两边的长是关于上述方程的两个实数根，的长为5． ①当为何值时，是以为斜边的直角三角形？ ②当为何值时，是等腰三角形？请求出此时的周长． 参考答案： 1．解：，即 ∴， 故选：C． 2．解：解一元二次方程的公式为， ∵， ∴， ∴这个一元二次方程为：， 故选：． 3．解：A．∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； B．∵， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； C．∵， ∴， ∴方程没有实数根； D．∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 4．解：， ∴， ∴， ∵a是较小的根， ∴， ∵， ∴， ∴，即：； 故选A． 5．解：当时,解得， 当时，此方程是一元二次方程， ∵关于的方程有实数根, 解得 综上可知，的取值范围是， 故选：． 6．解：∵方程有两个相等的实数根， ∴，即， ∴， ∵，，， ∴是直角三角形， ∴边上的中线长为：， 故选：D． 7．解：等腰三角形的三边长分别为a、b、3，且a、b是关于x的一元二次方程的两个根， ①当时， 有， 即，整理得，解得； ②当或， 将代入一元二次方程中， 有，解得； 综上所述，n的值为17或18． 故选：C． 8．解：， ∴， ． 故选：A． 9．解：∵， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 10．解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得，， 故答案为：或． 11．解：∵关于的一元二次方程的根的判别式的值为24， ∴， 解得：． 故答案为：． 12．解：把代入方程得： ， ， 解得：或， 当时，，方程为一元一次方程，舍去， 则k的值是3， ∴方程为， 即， 设方程的另一根是， ∵， ∴， ∴方程的另一根是． 故答案为：3，． 13．解：∵， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根； 故答案为：方程有两个不相等的实数根． 14．解：∵关于的方程有实数根， ∴ ∴， 则正整数满足题意， 故答案为：（答案不唯一） 15．解：如图，过点作于点， ， ， 设， 则， 在中，由可得， 解得 当 ，即 时， ； 当 ，即 时， ； 的长度为或， 故答案为：1或7． 16．解：①∵，，， ∴， ∴此时该方程有两个相等的实数根； ②∵，， ∴， ∴此时该方程无实数根； ③∵，， ∴， ∴此时该方程有两个不相等的实数根； ④∵，， ∴， ∴此时该方程有无实数根； 故答案为：①；②④． 17．（1）解： ， ， ， ， ，； （2）解：， ，，， ， 原方程无解； 18．（1）解：移项，得， ∵，，， ∴ ∴ ∴，； （2）解：∵方程为一元二次方程， ∴， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 即k的取值范围为且． 19．（1）解：根据题意得：且， 解得， 即的值为； （2）原一元二次方程为， 根据题意得， 解得， 原方程化为， 解得． 20．解：由题意知，，， 解得，， ， 整理得，， ， ∴或， 解得，或（舍去）， ∴， ∴， 解得，，， ∴k的值为4，方程的根为，． 21．解：（1）∵， ∴， ∴． ∵， ∴方程是“间根方程”； （2）①∵， ∴． ∵关于的一元二次方程是“间根方程”， ∴， ∴． ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； ②∵， ∴变为， ∴． ∵关于的一元二次方程是“间根方程”， ∴， ∴． ∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴或， 当时， 当时， 或 综上所述：，，． 22．解：（1）在方程中， ， 方程有两个不相等的实数根． （2）， ． ①不妨设， 斜边时，有，即， 解得：（舍去）． 当时，是直角三角形 ②，由（1）知， 故有两种情况： （Ⅰ）当时，， ， 满足任意两边之和大于第三边， 此时的周长为； （Ⅱ）当时，， 满足任意两边之和大于第三边， 此时的周长为． 综上可知：当时，是等腰三角形，此时的周长为14；当时，是等腰三角形，此时的周长为16． 学科网（北京）股份有限公司 $$