3 用公式法求解一元二次方程（第2课时）-【新教材完全解读】初中九年级上册数学教学教案（北师大版）

第课时 会分析实际问题中的等量关系,并能够用公式法解决简单的实际问题. 结合方案设计训练,让学生不断探究,寻找问题的突破口,从而学会用公式法解决简单应用问题的方法,增强解决实际问题的能力. 通过对实际问题的分析,进一步理解方程是刻画现实世界中数量关系的有效模型,培养在生活中发现问题、解决问题的能力. 【重点】 在实际问题中寻找等量关系,建立方程,利用公式法解方程. 【难点】 根据实际问题,设计灵活多变的解决方案. 【教师准备】 预设学生可能设计的方案. 【学生准备】 熟练地利用公式法解一元二次方程. 导入一: 你能举例说明什么是一元二次方程吗?它有什么特点?怎样用配方法解一元二次方程?怎样用公式法解一元二次方程? [设计意图] 帮助学生回忆一元二次方程及其解法,为后面说明设计方案的合理性做铺垫. 导入二: 在一块长16 m,宽12 m的矩形荒地上,要建造一个花园,并使花园所占面积为荒地面积的一半,你能给出设计方案吗? [设计意图] 此题是一个开放型题目,答案多种多样,没有标准答案,只要学生的答案合理即可,意在培养在生活中发现问题、解决问题的能力,提高学习兴趣. 一、互动探究 [过渡语] (针对导入二)同学们,你们的答案相同吗?下面给出一些设计方案,我们一起来看一下: 小明的设计方案如右图所示,其中花园四周小路的宽度都相等. 小明的做法是:设小路的宽度为x m,根据题意,得(16-2x)(12-2x)＝×12×16.整理,得x2-14x＋24＝0,解得x1＝2,x2＝12. 小亮的设计方案如右图所示,其中花园每个角上的扇形都相同. (1)你认为小明的结果对吗?为什么? (2)你能帮小亮求出图中的x吗? (3)你还有其他的设计方案吗?与同伴交流. 分析:(1)在解一元一次方程时,只要题目、方程及解法正确,那么得出的根便是所列方程的根,一般也就是所解应用题的解,而一元二次方程有两个根,这些根虽然都满足所列的一元二次方程,但未必符合实际问题,因此,解完一元二次方程之后,要按题意检验这些根是不是实际问题的解.小明的结果中,小路的宽12 m符合所列方程,但荒地的宽为12 m,小路的宽就不可能为12 m,因而它不是实际问题的解,应舍去.而小路的宽2 m符合这个实际问题,所以小路的宽是2 m. (2)4个相同扇形的面积之和恰好为一个圆的面积,且其半径为x m,根据题意,得πx2＝×12×16,解得x＝± ≈5.5,所以图中的x约为5.5. (3)学生的设计方案可能是多种多样的,下面列举出一些方案. [设计意图] 结合方案设计训练,让学生不断探究,寻找问题的突破口,从而学会用公式法解决简单的应用问题,增强解决实际问题的能力. 二、解决实际问题 利用方程解决实际问题的关键是从实际问题中探索出等量关系,下面我们结合例题谈几种找等量关系的方法. 1.抓住问题中的关键句 实际问题中的关键句是指包含数量关系的句子,此句子中的等量关系是列方程的基础. 一间会议室,它的地板长为20 m,宽为15 m,现在准备在会议室地板的中间铺一块地毯,要求四周未铺地毯的部分宽度相同,而且地毯的面积是会议室地板面积的一半,那么未铺地毯的部分的宽度应该是多少? 〔解析〕 本题的关键句是“地毯的面积是会议室地板面积的一半”,据此可得等量关系:地毯面积＝会议室地板面积的一半. 解:设未铺地毯的部分宽为x m,则地毯的长为(20-2x)m,宽为(15-2x)m,根据题意,得 (20-2x)(15-2x)＝×20×15, 解得x1＝2.5,x2＝15(不合题意,舍去). 所以未铺地毯的部分的宽度应该是2.5 m. 2.抓住问题中的不变量 在实际问题中,如果一个量不随问题的变化而变化,那么这个量就是不变量,我们可以依据这个不变量寻找等量关系. 某超市将进货单价为40元的商品按50元/件出售,每天可卖500件,且这种商品每涨价1元,其销售量就减少10件,若超市要使这种商品每天赚得8000元利润,则商品的售价应定为每件多少元? 〔解析〕 本题中的不变量是每天赚得8000元的利润.等量关系是:每件商品的利润×销售数量＝8000元. 解:设该商品的售价为每件(50＋x)元, 则每件商品的利润为[(50＋x)-40]元, 销售量为(500-10x)件, 根据题意,得[(50＋x)-40](500-10x)＝8000, 解得x1＝10,x2＝30. 所以若每天要赚得8000元的利润,则这种商品的售价应定为每件60元或80元. 3.借助表格 当实际问题中的数量较多时,我们可以利用表格列出各种数量关系,结合表格中的数量关系列出方程. 某种服装平均每天可销售20件,每件盈利44元.如果每降价1