5 一元二次方程的根与系数的关系-【新教材完全解读】初中九年级上册数学教学教案（北师大版）

*5　一元二次方程的根与系数的关系 掌握一元二次方程的根与系数的关系,会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积,并会解一些简单的问题. 经历一元二次方程的根与系数关系的探究过程,培养学生的观察、思考、归纳、概括能力,在运用关系解决问题的过程中,培养学生解决问题的能力,渗透整体的数学思想. 通过学生自己探究,发现根与系数的关系,增强学习的信心,培养科学探究精神. 【重点】 根与系数的关系及运用. 【难点】 关系定理的发现及运用. 【教师准备】 预设学习过程中的易错点. 【学生准备】 复习用公式法解一元二次方程,预习本节课教材. 导入一: 1.一元二次方程的一般形式是什么?(ax2＋bx＋c＝0(a≠0)) 2.一元二次方程有实数根的条件是什么?(Δ＝b2-4ac≥0) 3.当Δ>0,Δ＝0,Δ<0时,方程的根的情况如何? 4.一元二次方程的求根公式是什么?(x＝) [设计意图] 以问题串的形式引导学生思考,回忆公式法解一元二次方程的相关知识,有利于学生衔接前后知识,形成清晰的知识脉络,为后面的学习做好铺垫. 导入二: 通过前面的学习我们发现,一元二次方程的根完全由它的系数确定,求根公式就是根与系数的关系的一种形式,除此之外,一元二次方程的根与系数之间还有什么形式的关系呢?下面我们通过解方程来探究. (1)x2-2x＋1＝0; (2)x2-2x-1＝0; (3)2x2-3x＋1＝0. 每个方程的两根之和与它的系数有什么关系?两根之积呢? 对于任何一个一元二次方程,这种关系都成立吗?与同伴交流. [设计意图] 通过学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积,启发学生从中发现存在的一般规律,渗透由特殊到一般的思想. 一、一元二次方程的根与系数的关系的推导 思路一 [过渡语] (针对导入二)同学们,对于一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0),是不是也存在这样的规律?我们来研究一下这个问题. 我们知道,一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)当b2-4ac≥0时有两个根: x1＝,x2＝. 于是,两根之和为x1＋x2＝＝-. 两根之积为x1·x2＝·. [知识拓展] 如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1,x2,那么x1＋x2＝-,x1·x2＝. [设计意图] 让学生自己发现规律,体会成功感,再从理论上加以验证,让学生经历由特殊到一般的科学探究过程. 思路二 [过渡语] 同学们,下面我们做一个简单的游戏. 计算,填表,回答问题. 方　程 x1 x2 x1＋x2 x1x2 x2＋3x＋4＝0 6x2＋x-2＝0 2x2-3x＋1＝0 问题: (1)你找到快速求出一元二次方程的两根之和与两根之积的方法了吗? (2)刚才我们列举了部分方程,发现了两根之和、两根之积与系数的关系,那么是不是所有的一元二次方程的根与系数之间都有这样的关系呢? (3)请根据以上的观察发现,猜想方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根x1,x2与a,b,c之间的关系为 . (4)你能证明上面的猜想吗?用文字语言叙述说明. [知识拓展] 如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1,x2,那么x1＋x2＝-,x1·x2＝. [设计意图] 本环节采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程,使学生既动手、动脑,又动口.教师引导启发,避免注入式地讲授一元二次方程的根与系数的关系,体现学生的主体学习特性,培养了学生的创新意识和创新精神. 二、例题讲解 [过渡语] 同学们,下面我们利用根与系数的关系,求下列方程的两根之和、两根之积. (教材例题)利用根与系数的关系,求出下列方程的两根之和、两根之积. (1)x2＋7x＋6＝0; (2)2x2-3x-2＝0. 解:(1)这里a＝1,b＝7,c＝6, ∴b2-4ac＝72-4×1×6＝25>0, ∴方程有两个实数根,设这两个实数根分别为x1,x2, ∴x1＋x2＝-7,x1·x2＝6. (2)这里a＝2,b＝-3,c＝-2, ∴b2-4ac＝(-3)2-4×2×(-2)＝25>0, ∴方程有两个实数根,设两个实数根为x1,x2, ∴x1＋x2＝,x1x2＝-1. 已知关于x的方程x2-px＋q＝0的两个根是0和-3,求p和q的值. 解法1:因为关于x的方程x2-px＋q＝0的两个根是0和-3,所以有x(x＋3)＝0, 即x2＋3x＝0, 所以p＝-3,q＝0. 解法2:由方程x2-px＋q＝0的两个根是0和-3, 可得0＋(-3)＝p,0×(-3)＝q, 即p＝-3,q＝0. [