6 应用一元二次方程（第1课时）-【新教材完全解读】初中九年级上册数学教学教案（北师大版）

6 应用一元二次方程 通过分析问题中的数量关系,建立方程解决问题,认识方程模型的重要性,并总结运用方程解决实际问题的一般过程. 1.经历分析和建模的过程,进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型. 2.能够利用一元二次方程解决有关实际问题,能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性,进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力. 在问题解决的过程中,经历一定的合作交流活动,进一步发展学生合作交流的意识和能力. 【重点】 通过分析问题中的数量关系,建立方程解决问题. 【难点】 方程解决实际问题的一般过程. 第课时 会分析实际问题中的数量关系,并能够用一元二次方程解决实际问题. 经历用方程解决实际问题的过程,知道解应用题的一般步骤和关键所在. 通过对实际问题的分析,进一步理解方程是刻画客观世界的有效模型,培养在生活中发现问题、解决问题的能力. 【重点】 列一元二次方程解决实际问题. 【难点】 理解实际问题中的变化量,寻找正确的等量关系. 【教师准备】 预设教学过程中学生可能出现的问题. 【学生准备】 复习列一元一次方程解决实际问题的步骤. 导入一: 一根长22 cm的铁丝. (1)能否围成面积是30 cm2的矩形? (2)能否围成面积是32 cm2的矩形?说明理由. 分析:如果设这根铁丝围成的矩形的长是x cm,那么矩形的宽是 cm.根据相等关系:矩形的长×矩形的宽＝矩形的面积,可以列出方程: . [设计意图] 提出具体的问题,提高学生的探究欲望. 导入二: 还记得本章开始时梯子下滑的问题吗(附图)? (1)在这个问题中,梯子顶端下滑1 m时,梯子底端滑动的距离大于1 m,那么梯子顶端下滑几米时,梯子底端滑动的距离和它相等呢? (2)如果梯子的长度是13 m,梯子顶端与地面的垂直距离为12 m,那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗?如果相等,那么这个距离是多少? 分析:如果设梯子顶端下滑的距离为x m,然后根据等量关系:在滑动的过程中梯子的长度不变,列方程求解. 在解方程的过程中可用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等方法解方程,但是方程的解必须符合实际意义. [设计意图] 提出具体的问题,提高学生的探究欲望. 例题讲解 [过渡语] 同学们,下面我们用一元二次方程来解决一个实际问题. (教材例1)如图所示,某海军基地位于A处,在其正南方向200 n mile处有一重要目标B,在B的正东方向200 n mile处有一重要目标C,小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头.小岛F位于BC的中点,一艘军舰从A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰,已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里?(结果精确到0.1 n mile) 〔解析〕 题中含有等量关系:DE2＝DF2＋EF2,结合三角形中位线定理求出DF,利用AB＋BE＝2DE表示出EF的长,即可求出DE. 解:连接DF,∵AD＝CD,BF＝CF, ∴DF是ΔABC的中位线, ∴DF∥AB,DF＝AB. ∵AB⊥BC,AB＝BC＝200 n mile, ∴DF⊥BC,DF＝100 n mile,BF＝100 n mile. 设相遇时补给船航行了x n mile, 那么DE＝x n mile,AB＋BE＝2x n mile, EF＝AB＋BC-(AB＋BE)-CF＝(300-2x)n mile, 在RtΔDEF中,根据勾股定理可得方程x2＝1002＋(300-2x)2, 整理,得3x2-1200x＋100000＝0. 解这个方程,得x1＝200-,x2＝200＋(不合题意,舍去). ∴x＝200-≈118.4. 答:相遇时补给船大约航行了118.4 n mile. [设计意图] 通过例题的讲解,进一步巩固列方程解决实际问题的方法. [知识拓展] 列一元二次方程解决实际问题的一般步骤: (1)审:审清题意:已知什么,求什么,已知与未知之间有什么关系; (2)设:设未知数,语句要完整,有单位(统一)的要注明单位; (3)列:列代数式,列方程; (4)解:解所列的方程; (5)验:是否是所列方程的根,是否符合题意; (6)答:答案必须是完整的语句,注明单位,要贴近生活. 列方程解应用题的关键是找出等量关系.所谓的列方程实质上就是把要求的数用一个未知的数(字母)表示,根据题目中提供的条件列出两个代数式,这两个代数式表示同一个量(这两个代数式中至少有一个代数式中要含有未知数),用等于号把这两个代数式连