3 反比例函数的应用-【新教材完全解读】初中九年级上册数学教学教案（北师大版）

3　反比例函数的应用 经历分析实际问题中变量之间的关系,建立反比例函数模型,解决实际问题的过程,体会数学与现实生活的紧密联系,增强应用意识. 经历将一些实际问题抽象为数学问题的过程,初步学会从数学的角度提出问题、理解问题、解决问题.发展应用意识,建立函数思想. 在数学活动中,激发学生的好奇心与求知欲;在引导学生解决问题的过程中,树立学好数学的信心,培养认真勤奋、独立思考、合作交流的学习习惯,形成严谨求实的科学态度. 【重点】 用反比例函数的知识解决实际问题. 【难点】 如何从实际问题中抽象出数学问题、建立函数模型. 【教师准备】 分配学习小组(建议4到6人一组),明确每个人的任务. 【学生准备】 复习反比例函数的图象与性质,预习课本P58~60. 导入一: 下图是由四条曲线围成的广告标志,在如图所示的直角坐标系中,双曲线表达式分别为y=,y=-,现在曲线间设计了一个ABCD的矩形广告牌,准备在ABCD上镶霓虹灯,已知OF=OH=2 m,每平方米霓虹灯造价为15元,你知道广告牌上所用霓虹灯的总造价吗? 导入二: 已知某矩形的面积为6 cm2. (1)写出其长y与宽x之间的函数表达式; (2)当矩形的长为12 cm时,其宽为多少?当矩形的宽为4 cm时,其长为多少? 从上题中可以看出,生活中有很多问题可以借助于反比例函数知识来解决. [过渡语] 我们首先尝试一下教材中提出的这个问题吧. 问题1 【课件1】 某校科技小组进行野外考察,利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地,你能解释他们这样做的道理吗?当人和木板对湿地的压为一定时,随着木板面积S(m2)的变化,人和木板对地面的压强p(Pa)将如何变化? 如果人和木板对湿地地面的压力合计600 N,那么: (1)用含S的代数式表示p,p是S的反比例函数吗?为什么? (2)当木板面积为0.2 m2时,压强是多少? (3)如果要求压强不超过6000 Pa,木板面积至少要多大? (4)在平面直角坐标系中,画出相应的函数图象. (5)请利用图象对(2)和(3)作出直观解释,并与同伴交流. 【教师提示】 首先要根据题意分析实际问题中的两个变量,然后看这两个变量之间存在的关系,从而去分析它们之间的关系是否为反比例函数关系,若是,则可用反比例函数的有关知识去解决问题. 【结果展示】 (1)由p=得p=,p是S的反比例函数,因为给定一个S的值,对应的就有唯一的一个p值和它对应,根据函数定义,则p是S的反比例函数. (2)当S=0.2 m2时,p==3000(Pa).当木板面积为0.2 m2时,压强是3000 Pa. (3)当p=6000 Pa时,S==0.1(m2).如果要求压强不超过6000 Pa,木板面积至少要0.1 m2. (4)图象如下: (5)(2)是已知图象上某点的横坐标为0.2,求该点的纵坐标;(3)是已知图象上点的纵坐标不大于6000,求这些点所处的位置及它们的横坐标的取值范围. 【师】 反比例函数的图象是两支双曲线,它们要么位于第一、三象限内,要么位于第二、四象限内,从(1)中已知pS=600>0,所以图象应位于第一、三象限内,为什么这位同学只画出了一支曲线,是不是另一支曲线丢掉了呢?还是因为题中只给出了第一象限呢? 【生1】 第三象限的曲线不存在,因为这是实际问题,S不可能取负数,所以第三象限的曲线不存在. 【师】 很好,那么在(1)中是不是应该有条件限制呢? 【生2】 是,应为p=(S>0). [设计意图] 通过创设问题情境,让学生理解生活中反比例函数的应用,激发学生运用反比例函数解决问题的兴趣和热情. 【教师总结】 应用反比例函数解决实际问题时,关键是将实际问题转化为数学问题,建立反比例函数模型,首先要分清变量、常量、函数、自变量,其次建立函数与自变量的关系.在应用时,还要根据实际意义确定自变量的取值范围. 问题2 【课件2】 如图,正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=的图象相交于A,B两点,其中点A的坐标为(,2). (1)分别写出这两个函数的表达式; (2)你能求出点B的坐标吗?你是怎样求的?与同伴进行交流. 【教师提示】 要求这两个函数的表达式,只要把A点的坐标代入即可求出k1,k2,求点B的坐标即求y=k1x与y=的交点. 解:(1)∵A(,2)既在y=k1x的图象上,又在y=的图象上, ∴k1=2,2. ∴k1=2,k2=6. ∴表达式分别为y=2x,y=. (2)由得2x=, ∴x2=3,∴x=±. 当x=-时,y=-2. ∴B(-,-2). [设计意图] 在历年中考试题中一次函数和反比例函数常以综合题形式出现,这类试题不仅能考查两个函数的基本性质,而且能考查同学们综合分析问题的能力. 一、探求同一坐标系下的图象 在同一