专题1.2实数精讲精练-2020-2021学年八年级数学上学期期中考试高分直通车【北师大版】

2020-2021学年八年级数学上学期期中考试高分直通车（北师大版） 专题1.2实数精讲精练 【目标导航】 【知识梳理】 1． 平方根： （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． （2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． （3）一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“-”． 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零． （4）平方根性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．非负数的性质：算术平方根 （1）非负数的性质：算术平方根具有非负性． （2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题． 3.立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果=a，那么x叫做a的立方根．记作：． （2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． （3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 4.无理数与实数 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数． 说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数． 如圆周率、2的平方根等． （2）、无理数与有理数的区别： 　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 　　比如4=4.0，13=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2=1.414213562． 　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能． （3）实数的定义：有理数和无理数统称实数． （4）实数的分类： 5.实数的性质： 在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． 实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|=a（a≥0），则x=±a． 乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab=1；反之，若ab=1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数． 6.实数的大小比较 （1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小． （2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 7.实数的运算 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 【典例剖析】 【考点1】无理数 【例1】（2016春•丰都县期末）把下列各数分别填在相应的集合中：，，，0，，、，0.，3.14 【分析】根据有理数与无理数的定义看判定求解． 【解析】有理数集合：（，，0，，0.，3.14，…）， 无理数集合：（，，，…）． 【点评】本题主要考查了有理数与无理数的定义．有理数是整数与分数的统称；无理数是无限不循环小数．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．开方开不尽的数也是无理数． 【变式1.1】（2020春•龙岩期中）在实数 ，，﹣3.14，0，π，2.161 161 161…，中，无理数有（　　） A．1 个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案． 【解析】，π，是无理数， 故选：C． 【点评】本题考查了无理数，无限不循环小数是无理数． 【变式1.2】（2019春•罗庄区期中）下列各数中，无理数是（　　） A．3.14 B．3.010010001 C． D．2π 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【解析】A.3.14是有限小数，属于有理数； B.3.010010001是有限小数，属于有理数； C．，是整数，属于有理数； D.2π是无理数． 故选：D． 【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规