专题1.1勾股定理精讲精练-2020-2021学年八年级数学上学期期中考试高分直通车【北师大版】

2020-2021学年八年级数学上学期期中考试高分直通车（北师大版） 专题1.1 勾股定理精讲精练 【目标导航】 【知识梳理】 1.勾股定理： （1）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有这就是勾股定理． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）由于，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 2.勾股定理逆定理 “若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形.”这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状，为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法.定理的证明采用了构造法. 两个命题中, 如果第一个命题的题设是第二个命题的结论, 而第一个命题的结论又是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题, 那么另一个叫做它的逆命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那么它也是一个定理, 这两个定理叫做互逆定理, 其中一个叫做另一个的逆定理. 3.勾股定理的证明： （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 勾股数： 4.勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数． 说明： 1 个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． 2 组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． 3 住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 5.勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 【典例剖析】 【考点1】勾股定理 【例1】（2020春•庆云县期中）计算： （1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，b＝15，求c （2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3，b＝4，求c （3）一个直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，求这个三角形的第三边长． 【分析】（1）直接利用勾股定理进行解答即可； （2）直接利用勾股定理进行解答即可； （3）分5cm是直角边和斜边两种情况讨论求解． 【解析】（1）利用勾股定理，得c17，即c＝17； （2）利用勾股定理，得c5，即c＝5； （3）5cm是直角边时，第三边cm， 5cm是斜边时，第三边4cm， 所以，第三边长为或4． 【点评】本题考查了勾股定理．在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． 【变式1.1】（2020春•惠城区期中）已知等腰三角形的一条腰长是15，底边长是18，则它底边上的高为（　　） A．9 B．12 C．15 D．18 【分析】过点A作AD⊥BC，根据AB＝AC，求出CD，再根据勾股定理得出AD，最后代入计算即可． 【解析】过点A作AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴BD＝CDBC18＝9， ∴AD12（cm）， ∴它底边上的高为12cm； 故选：B． 【点评】此题考查了勾股定理，用到的知识点是勾股定理、等腰三角形的性质，关键是作出辅助线，构造直角三角形． 【变式1.2】（2020春•凉州区校级期中）如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，以△ABC的各边为边，在△ABC外作三个正方形，S1，S2，S3分别表示这三个正方形的面积，若S1＝81，S2＝225，则BC＝　12　． 【分析】根据正方形的面积公式结合勾股定理，知：以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积． 【解析】根据题意得：以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积， 则S3＝225﹣81＝144， ∴BC＝12， 故答案为12． 【点评】考查了勾股定理，能够根据勾股定理以及正方形的面积公式证明结论