3.2.2奇偶性-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册知识点总结与例题讲解

奇偶性知识点总结与例题讲解 本节主要知识点 （1）函数的奇偶性; （2）函数奇偶性的判定; （3）奇函数和偶函数的性质; （4）函数的奇偶性的应用. 知识点一 函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 一般地,如果对于函数 定义域内的任意一个 ,都有 ,那么函数 就叫做偶函数. 一般地,如果对于函数 定义域内的任意一个 ,都有 ,那么函数 就叫做奇函数. 定义域特征 关于原点对称 图象特征 关于 轴对称 关于原点对称 函数 举例 函数 . 函数 . 常见函数的奇偶性 （1）二次函数 和 都是偶函数; （2）正比例函数 和反比例函数 都是奇函数. 一个函数是奇函数或偶函数,我们就说这个函数具有奇偶性. 对函数奇偶性定义的理解 （1）注意定义中的 的任意性,如果函数 的定义域中存在 ,有 ,或 ,则函数 不是偶函数或奇函数. （2）函数的奇偶性和单调性都是函数的重要性质.单调性是函数的局部性质,是研究函数值随自变量的变化趋势;而奇偶性是函数的整体性质,是研究函数的图象在整个定义域上的对称性. （3）偶函数和奇函数的定义域都是关于原点对称的,所以在判断一个函数的奇偶性时,要先确定函数的定义域,若定义域关于原点对称,则根据奇、偶函数的定义接着往下判断 与 的关系;若定义域关于原点不对称,则函数既不是偶函数,也不是奇函数. 即判断函数的奇偶性仍然遵循“定义域优先”的原则. （4）如果函数 是偶函数,则 ,若 ,则还有 ;如果函数 是奇函数,则 ,若 ,则还有 . （5）既是偶函数,又是奇函数的函数只有一类,即 , D,且D关于原点对称. （6）偶函数的图象关于 轴对称,反过来,图象关于 轴对称的函数是偶函数;奇函数的图象关于原点对称,反过来,图象关于原点对称的函数是奇函数. 因此,对于比较容易画出图象的函数,我们可以利用图象法来判断函数的奇偶性. （7）若函数 是偶函数,点 在函数 的图象上,则点 ,即 也在函数 的图象上,点 与点 关于 轴对称; 若函数 是奇函数,点 在函数 的图象上,则点 ,即 也在函数 的图象上.点 与点 关于原点对称. ★（8）如果函数 在区间 或 上为偶函数或奇函数,则区间的两个端点互为相反数,即 （因为这个区间关于原点对称）. （9）特别说明,若函数 是偶函数,则有 . 偶函数的图象特征 若一个函数是偶函数,