3.2.1函数的单调性与最大（小）值-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册知识点总结与例题讲解

函数的单调性与最大（小）值知识点总结与例题讲解 一、本节主要知识点 （1）函数的单调性. （2）函数的最值. （3）单调函数的运算性质. （4）复合函数的单调性. 知识点一 函数的单调性 1.增函数与减函数 名称 定义 图象表示 几何意义 增 函 数 一般地,设函数 的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 ,当 时,都有 ,那么就说函数 在区间D上是增函数. 函数 的图象在区间D上从左到右是上升的. 减 函 数 一般地,设函数 的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 ,当 时,都有 ,那么就说函数 在区间D上是减函数. 函数 的图象在区间D上从左到右是下降的. 增函数、减函数定义中两个自变量的值 的三个特征: （1）任意性 自变量的值 必须是在区间D上任意选取的,不可以随便取两个特殊值. （2）有序性 一般要对 的大小作出规定,通常规定 . （3）同区间性 即 要属于同一个单调区间. 2.单调性、单调区间和单调函数 如果函数 在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数 在这一区间具有（严格的）单调性,区间D叫做函数 的单调区间. 单调函数 如果函数 在整个定义域上具有单调性,那么就称函数 为单调函数. 对函数单调性和单调区间的理解: （1）区间D必为函数定义域I的子集,即 .所以单调性是函数的局部性质. （2）区间D可以是整个定义域,此时函数为单调函数. 如函数 在整个定义域 上是增函数,函数 在整个定义域 上是减函数. （3）区间D可以是定义域的真子集. 如函数 在整个定义域 上没有单调性,但在区间 上是减函数,在区间 上是增函数. （4）函数在某个区间上单调,但在整个定义域上不一定单调. 如函数 在区间 和 上都是减函数,但在整个定义域上不具有单调性（反比例函数的图象是不连续的）. （5）不是所有的函数都具有单调性. 如狄利克雷函数 ,它的定义域是R,但不具有单调性. （6）若函数 在区间D上为增函数,则称区间D为函数 的增区间;若函数 在区间D上为减函数,则称区间D为函数 的减区间. 正确书写单调区间 （1）一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“ ”连接,而应该用“和”或“,”连接. 如函数 在区间 和 上都是减函数,但不能认为函数