3 勾股定理的应用-【新教材完全解读】初中八年级上册数学教学教案（北师大版）

3　勾股定理的应用 1.能正确运用勾股定理及直角三角形的判别方法解决简单的实际问题. 2.学会选择适当的数学模型解决实际问题,进一步发展应用意识. 通过问题情境的设立,使学生体会数学来源于生活,又应用于生活;积累利用数学知识解决日常生活中实际问题的经验和方法. 敢于面对数学学习中的困难,增加遇到困难时 选择其他方法的经验,进一步体会数学的应用价值,发展运用数学的信心和能力,初步形成积极参与数学活动的意识. 【重点】 能运用勾股定理及直角三角形的判别方法解决实际问题. 【难点】 正确选择勾股定理及直角三角形的判别方法解决实际问题. 【教师准备】 教材例题图片. 【学生准备】 复习勾股定理及其逆定理. 导入一: 折竹抵地(源自《九章算术》):今有竹高一丈,风折抵地,去本三尺.问折者高几何? 大意:一根竹子,原高一丈,一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处距离原竹子底部3尺远.问原来的竹子有多高? 导入二: 历史上伦敦克里斯蒂拍卖行贴出了如下的一个土地拍卖广告:如图所示,有面积为560英亩的土地拍卖,土地共分三个正方形,面积分别为74英亩,116英亩,370英亩.三个正方形恰好围着一个池塘,若有人能计算出池塘的准确面积,则池塘不计入土地价钱白白奉送.英国数学家巴尔教授曾经巧妙地解答了这个问题,你能解决吗? [过渡语] 接下来我们体验一下勾股定理的应用. 一、问题探究 如图所示,有一个圆柱,它的高等于12 cm,底面上圆的周长等于18 cm.在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与点A相对的点B处的 食物,沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少? 思路一 (1)自己做一个圆柱,尝试从点A到点B沿圆柱侧面画出几条路线,你觉得哪条路线最短呢? 【预设】 学生可能的方案(粗线条). (2)如图所示,将圆柱侧面剪开展成一个长方形,从点A到点B的最短路线是什么?你画对了吗? (教师展示学生的方案) (3)蚂蚁从点A出发,想吃到点B处的食物,它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少? 【预设】 学生在求直角边时会出现问题,极有可能将上面的短的直角边当成是圆的半径,这里教师要特别关注. 【问题总结】 (1)数学思想. 立体图形→→平面图形. (2)在解决空间几何图形中的距离问题时,先把几何图形适当展开成平面图形,再利用“两点之间线段最短”的性质来解决问题. [设计意图] 通过对上述问题的探索,渗透建模思想,通过探求过程,学生学会分析立体图形中隐藏的平面模型(直角三角形),能够将立体图形转化为平面图形,体会勾股定理在生活中是广泛存在的,激发和点燃学生学习的兴趣,为后续学习起到引领和铺设作用. 思路二 教师展示教材上本节开头问题,学生思考,少数学生能得到正确答案.(学生课下已仿照图1 - 11作了一个圆柱体)按老师的要求去做. 下面我们动手操作一下,看看为什么这是最短路线. (1)按题目要求在圆柱上画出A,B两点. (2)从A点到B点沿圆柱侧面画出几条路线. (3)将圆柱侧面从A点剪开展成一个长方形. (教师巡视指导,避免学生操作错误) (学生解释为什么这就是最短路线.动手剪成长方形,铺平) 【教师提问】 在同学们剪成的长方形所画的路线中,你能替蚂蚁找到最短的路线吗?能用我们所学过的知识对最短路线做出解释吗? (学生思考、观察并找到最短的路线,并求出最短路程,小组讨论) 教师用多媒体出示教材上的“做一做”,并提出问题. 李叔叔想要检测雕塑(如图所示)底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB,但他随身只带了卷尺. (1)你能替他想办法完成任务吗? (2)李叔叔量得边AD长是30 cm,边AB长是40 cm,点B,D之间的距离是50 cm,边AD垂直于边AB吗? (3)小明随身只有一个长度为20 cm的刻度尺,他能有办法检验边AD是否垂直于边AB吗?边BC与边AB呢? 对学生完成情况作出判断,对有创新精神的同学予以表扬. 二、例题讲解 教师出示例题. 如图所示的是一个滑梯示意图,若将滑道AC水平放置,则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE=3 m,CD=1 m,试求滑道AC的长. 解:设滑道AC的长度为x m,则AB的长度为x m,AE的长度为(x-1) m. 在RtΔACE中,∠AEC=90°,由勾股定理得AE2+CE2=AC2,即(x-1)2+32=x2,解得x=5. 故滑道AC的长度为5 m. [知识拓展] 1.解决两点距离问题:正确画出图形,已知直角三角形两边长,利用勾股定理求第三边长. 2.解决航海问题:理解方向角等概念,根据题意画出图形,利用勾股定理或其逆定理解题. 3.解决实际问题中两线段是否垂直的问题:以已知两线段为边构造一个三角形,根据三边的长度,利用勾