第1章 本章复习教案-【新教材完全解读】初中八年级上册数学教学教案（北师大版）

1.理解勾股定理及其逆定理. 2.会用勾股定理解决简单的实际问题. 通过猜想、探索证明勾股定理及其逆定理. 培养勇于探索的科学精神和数学应用意识. 【重点】 勾股定理及其逆定理. 【难点】 勾股定理及其逆定理的应用. 专题一 勾股定理及其逆定理的基本用法 【专题分析】 勾股定理是初中阶段应该掌握的一个重要定理,运用勾股定理的过程中蕴含着方程、几何、不等式等多种解决问题的方法.用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形应注意: (1)首先确定最大边,不妨设最大边长为c; (2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系,若c2=a2+b2,则ΔABC是以∠C为直角的直角三角形.(若c2>a2+b2,则ΔABC是以∠C为钝角的钝角三角形;若c2<a2+b2,则ΔABC为锐角三角形) 若直角三角形两直角边长的比是3∶4,斜边长是20,求此直角三角形的面积. 〔解析〕 在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度,求面积,可以先通过比值设未知数,再根据勾股定理列出方程,求出未知数的值,进而求面积. 解:设此直角三角形两直角边长分别是3x,4x,根据题意,得(3x)2+(4x)2=202, 化简得x2=16. ∴直角三角形的面积=×3x×4x=6x2=96. [方法归纳] 直角三角形边的有关计算中,常常要设未知数,然后用勾股定理列方程(组)求解. 【针对训练1】 等腰三角形的底边长为6,腰长为5,求ΔABC的面积. 解:如图所示,等腰三角形ABC,作AD⊥BC于D, 则BD=BC(等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合), ∵AB=AC=5, ∴BD=BC=3, 在直角三角形ABD中,AB2=AD2+BD2, 即AD2=AB2-BD2=52-32=42, ∴AD=4, ∴SΔABC=BC·AD=12. 如图所示,ΔABC中,已知AB=AC,D是AC上的一点,CD=9,BC=15,BD=12. (1)求证ΔBCD是直角三角形; (2)求ΔABC的面积. 〔解析〕 (1)利用勾股定理的逆定理即可直接证明ΔBCD是直角三角形;(2)设AD=x,则AB=AC=x+9,在RtΔABD中,利用勾股定理即可列出方程,解方程,即可求解. 证明:(1)∵CD=9,BD=12,∴CD2+BD2=81+144=225.∵BC=15,∴BC2=225.∴CD2+BD2=BC2.∴ΔBCD是直角三角形,且∠BDC=90°(勾股定理的逆定理). 解:(2)设AD=x,则AC=x+9,∵AB=AC, ∴AB=x+9, ∵∠BDC=90°,∴∠ADB=90°, ∴AB2=AD2+BD2(勾股定理),即(x+9)2=x2+122,解得x=,∴AC=+9=, ∴SΔABC=AC·BD=75. [方法归纳] 本题考查勾股定理及其逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形,已知三角形三边的长,只要利用勾股定理加以判断即可. 【针对训练2】 如图所示,在四边形ABDC中,∠A=90°,AB=9,AC=12,BD=8,CD=17. (1)求BC的长; (2)求四边形ABDC的面积. 解:(1)因为∠A=90°,AB=9,AC=12,所以BC2=AB2+AC2=81+144=225,所以BC=15. (2)因为BC=15,BD=8,CD=17,所以BC2+BD2=CD2,所以ΔBCD是直角三角形,所以S四边形ABDC=SΔBCD+SΔABC=×15×8+×9×12=114. [方法归纳] 本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理,把四边形ABDC分成两个直角三角形是解题的关键,也是本题的难点. 专题二 勾股定理的应用 【专题分析】 在实际生活中,勾股定理有着广泛的应用.在运用的过程中,要注意是运用勾股定理还是运用勾股定理的逆定理.在解决问题的过程中,寻找和构造垂直关系就成为解题的关键所在. (莱芜中考)如图所示,在ΔABC中,AB=AC=5,BC=6.若点P在边AC上移动,求BP的最小值. 〔解析〕 根据点到直线的连线中,垂线段最短,得到当BP垂直于AC时,BP最短,过A作等腰三角形底边上的高AD,利用三线合一得到D为BC的中点,在直角三角形ADC中,利用勾股定理求出AD的长,进而利用面积法即可求出此时BP的长. 解:根据垂线段最短,得到当BP⊥AC时,BP最短, 过A作AD⊥BC,交BC于点D, 因为AB=AC,AD⊥BC,所以D为BC的中点,又BC=6,所以BD=CD=3, 在RtΔADC中,AC=5,CD=3,根据勾股定理得AD2=AC2-DC2=42, 又因为SΔABC=BC·AD=BP·AC,所以BP==4.8. [方法归纳] 利用勾股定理求出AD的长,再利用面积相等列出关系式是解题的关键. 【针对训练3】 如图所示,直线