3 立方根-【新教材完全解读】初中八年级上册数学教学教案（北师大版）

3　立方根 1.了解立方根的概念,会用根号表示一个数的立方根. 2.了解开立方与立方运算互为逆运算,能用立方运算求某些数的立方根. 通过学生的积极参与,培养学生独立思考的能力,提高数学表达和运算能力. 1.了解数学运算是如何逐步拓展的. 2.通过一些开立方运算的应用,体会数学应用的广泛性. 【重点】 立方根的概念及计算. 【难点】 能用开立方运算求某些数的立方根,了解开立方与立方运算互为逆运算. 【教师准备】 球形储气罐图片. 【学生准备】 复习平方根的概念和性质. 导入一: 传说很久很久以前,在古希腊的某个地方发生了大旱,地里的庄稼都旱死了,于是大家一起到神庙里去向神祈求,神说:“我之所以不给你们降水,是因为你们给我做的这个正方体的祭坛太小,如果你们做一个比它的体积大一倍的祭坛放在我面前,我就会给你们降水.”大家觉得这好办,于是很快做好一个新祭坛送到神那里,新祭坛的棱长是原祭坛棱长的2倍,可是神更加恼怒地说:“你们竟敢愚弄我!这个祭坛的体积根本不是原来那个体积的2倍,我要进一步惩罚你们!” 【问题探究】 (1)新做的祭坛的体积到底是原祭坛体积的多少倍? (2)要做一个体积是原来祭坛体积2倍的新祭坛,它的棱长应是原来的多少倍? 导入二: 【问题】 (1)面积为2的正方形的边长为多少? (2)体积为2 的正方体的棱长是多少? 请同学们回忆求解a2=2时的情境,那么a3=2呢? [设计意图] 创新、新颖、有趣的问题情境,以故事的形式激发学生的学习兴趣,从而自然引出课题,并且为学生探究立方根的概念埋下伏笔. 一、探索立方根的概念 思路一 [过渡语] 前面我们对应平方学习了平方根和算术平方根,那么对应立方来说呢? 来看一个实际问题:某化工厂使用半径为1 m的一种球形储气罐储藏气体.现在要造一个新的球形储气罐,如果它的体积是原来的8倍,那么它的半径是原储气罐半径的多少倍?如果储气罐的体积是原来的4倍呢?(球的体积公式为V=πR3,R为球的半径) 【提问】 怎样求出半径R ? 思路二 体积为2 的正方体的棱长是多少?设正方体的棱长为a,则列出方程a3=2,如何求a呢? [设计意图] 通过实际情境引入,让学生感受新知学习的必要性,激发学生的求知欲望.在思考问题的同时,学生既感受了数学的应用价值,激发了学生的学习热情,又很快将问题归结为如何确定一个数,从而顺利引入新课. [过渡语] 依据前面的经验,我们是否能得到相应的概念呢? 【提问】 (1)什么叫一个数a的平方根?如何用符号表示数a(a≥0)的平方根? (2)正数的平方根有几个?它们之间的关系是什么?负数有没有平方根?0的平方根是什么? (3)平方和开平方运算有何关系? (4)算术平方根和平方根有何区别与联系? 【强调】 一个正数的平方根有两个,且互为相反数;负数没有平方根;0的平方根是0. (5)为了解决前面情境中的问题,需要引入一个新的运算,你将如何定义这个新运算? 类似于平方根(也叫做二次方根)的概念,我们定义: 一般地,如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根(cube root, 也叫做三次方根). [设计意图] 学生通过回顾上节课的学习内容,为进一步研究立方根的概念及性质做好铺垫,同时突出平方根与立方根的对比,以利于弄清两者的区别和联系.既复习了平方根的知识,又有利于学生用类比的学习方法学习立方根知识. [过渡语] 知道了立方根的定义,应用如何呢? 【做一做】 怎样求下列括号内的数?各题中已知什么数?求什么数? (1)( )3=0.001; (2)( )3=-; (3)( )3=0; (4)23=( ); (5)( )3=8; (6)(-3)3=( ). [设计意图] 通过练习,使学生进一步了解求一个数的立方与求一个数的立方根是互为逆运算,感受一个数的立方根的唯一性,计算中对a的取值分别选为正数、负数、0,这种设计意在此过程中渗透分类讨论的思想方法. 【议一议】 (1)正数有几个立方根? (2)0有几个立方根? (3)负数有几个立方根? 【学生小结】 正数的立方根是正数;0的立方根是0;负数的立方根是负数. 【想一想】 类比开平方的概念,你能总结出开立方的概念吗? 【学生总结】 求一个数a的立方根的运算叫做开立方,a叫做被开方数. 二、例题讲解 求下列各数的立方根. (1)-27; (2); (3)0.216; (4)-5. 解:(1)因为(-3)3=-27,所以-27的立方根是-3,即=-3. (2)因为,所以的立方根是,即 . (3)因为0.63=0.216,所以0.216的立方根是0.6,即=0.6. (4)-5的立方根是. 求下列各式的值. (1