7 二次根式（第1课时）-【新教材完全解读】初中八年级上册数学教学教案（北师大版）

7　二次根式 1.了解二次根式和最简二次根式的概念,能将二次根式(根号下仅限于数)化简为最简二次根式. 2.探究并掌握二次根式的性质. 3.会进行二次根式(根号下仅限于数)的简单四则运算,并解决简单的实际问题. 1.从具体实例出发,通过类比把有理数的运算律推广到实数范围. 2.从具体实例出发,归纳出无理数的运算律. 3.通过例题和练习,熟悉和巩固无理数的运算律. 发展学生的运算技能,关注解决问题方式的多样性,提高学生应用法则的灵活性和解决问题的能力. 【重点】 利用化简对实数进行简单的四则运算. 【难点】 掌握有理数的运算律在实数范围内仍然适用. 第课时 1.了解二次根式和最简二次根式的概念. 2.探究二次根式的性质,并能利用性质将二次根式化为最简二次根式的形式. 在探究二次根式性质的基础上,能利用性质将二次根式化为最简二次根式的形式. 在探究二次根式性质的过程中,体会由特殊到一般的数学思想. 【重点】 利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式. 【难点】 利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式. 【教师准备】 预设学习过程中学生会遇到的问题. 【学生准备】 复习平方根和开平方的概念,计算器的使用. 导入一: 问题1 ,,, ,(其中b=24,c=25),上述式子有什么共同特征? 【问题解决】 都含有开平方运算,并且被开方数都是非负数. 二次根式的定义:一般地,形如(a≥0)的式子叫做二次根式,a叫做被开方数. 强调条件:a≥0. 问题2 二次根式有哪些性质呢? 这是我们本节课要解决的新问题. [设计意图] 通过问题,回顾旧知识,为学习新知识打好基础. 导入二: 电视塔高h km,电视节目信号的传播半径为r km,则它们之间存在近似关系r=,其中R是地球半径,R≈6400 km.若某个电视塔高为200 km,你能求出从塔顶发射出的电磁波的传播半径为多少吗? 【问题探究】 由于R≈6400 km,h=200 km,所以r=.那么如何快速计算呢? 一、活动探究 【做一做】 (1)计算下列各式,你能得到什么猜想? = ,= ; = ,= ; = ,= . (2)根据上面的猜想,估计下面每组两个式子是否相等,借助计算器验证,并与同伴进行交流. 与, 与. 问题1 观察上面的结果,你得出什么结论? 问题2 从上面得出的结论中,你发现了什么规律?能用字母表示这个规律吗? 【问题解决】 ·(a≥0,b≥0), (a≥0, b>0). 积的算数平方根,等于算数平方根的积; 商的算数平方根,等于算数平方根的商. [设计意图] 最终归纳出·(a≥0,b≥0), (a≥0, b>0). 说明:公式中字母a≥0,b≥0(或b>0)这一条件是公式的一部分,不可忽略. 二、例题讲解 化简. (1); (2); (3) . 〔解析〕 直接运用两个公式·(a≥0,b≥0), (a≥0, b>0)进行计算. 解:(1)=9×8=72. (2)=5. (3) . 观察:化简以后的结果中的被开方数又有什么特征? [设计意图] 由于现在还没有最简二次根式的概念,学生实际上并不知道化简的方向,因此这里以例题的形式呈现了有关结论. 例1的化简结果5,中,被开方数中都不含分母,也不含能开得尽方的因数.一般地,被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式,叫做最简二次根式. 化简时,通常要求最终结果中分母不含有根号,而且各个二次根式是最简二次根式. 化简. (1); (2) ; (3) . 解:(1)=5. (2) . (3) . [设计意图] 例2是在学习了最简二次根式之后设计的,旨在学生能分辨出哪些是最简的,哪些不是最简的,然后利用所学公式灵活的化为最简二次根式. 【议一议】 (1)你是怎么发现的被开方数含有开得尽方的因数的?你是怎么判断是最简二次根式的? (2)将二次根式化成最简二次根式时,你有哪些经验与体会?与同伴进行交流. 策略:对于较大的数,我们一般采取小学学过的短除法的形式来判断,如50=2×5×5,从而发现含有开得尽方的因数,14=2×7,故判断是最简二次根式. 说明:含有根号的数与一个不含根号的数相乘,一般把不含根号的数写在前面,并省略乘号. 反思:以上化简过程的规律是:根号里面的数有一部分移到了根号外面,具体来说是能开得尽方的因数,开方后写到了根号外面.从而明确:被开方数若有开得尽方的因数,一般需要进行化简. [知识拓展] 对于二次根式应注意以下几点: (1)二次根式从形式上看,必须含有二次根号“”. (2)在二次根式中,字母a必须满足a≥0,即被开方数必须是非负数,这是定义的一个重要组成部分,不可省略,