7 二次根式（第2课时）-【新教材完全解读】初中八年级上册数学教学教案（北师大版）

第课时 1.经历二次根式的运算法则的探索过程,了解有理数的运算律在实数范围内仍然适用. 2.会进行二次根式简单的四则运算. 1.从具体实例出发,通过类比把有理数的运算律推广到实数范围. 2.通过例题和练习,熟悉和巩固无理数的运算律. 在探究与合作活动中,发展探究能力和合作意识,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性. 【重点】 会进行二次根式简单的四则运算. 【难点】 正确应用二次根式的运算法则进行四则运算. 【教师准备】 预想学生构建知识体系遇到的困难. 【学生准备】 复习二次根式的性质. 导入一: [过渡语] 前面学习了二次根式的性质,我们复习一下. 【问题】 二次根式的性质是什么?用公式如何表示? 【问题解决】 积的算数平方根,等于算数平方根的积. 商的算数平方根,等于算数平方根的商. ·(a≥0,b≥0), (a≥0, b>0). [设计意图] 借助复习,在巩固旧知识的同时,导入新课. 导入二: 装风筝的包装盒是一个底为正方形的长方体盒子,正方形的边长为30 cm,长方体盒子的高为5 cm,长方体盒子在包装时需用彩带沿正方形的对角线进行包装,则所需要彩带的长度最少是多少厘米? 【问题】 由于长方体盒子要用彩带沿正方形的对角线进行包装,所以彩带的长最少应为4×(对角线长+高),而正方形对角线的长可以根据勾股定理求得,即,那么如何计算4(+5)呢? 一、活动探究 思路一 [过渡语] 将上节课探究的公式·(a≥0,b≥0), (a≥0, b>0)等号的左边与右边对换,可以得到二次根式的乘法法则和除法法则: ·(a≥0,b≥0),= (a≥0,b>0). 思路二 计算下列各式,你能得到什么猜想? = ,= ; = , = . =4×5=20,=20,所以. , ,所以= . 我们可以得到二次根式的乘法法则和除法法则: ·(a≥0,b≥0),= (a≥0,b>0). 二、例题讲解 (教材例3)计算. (1)× ; (2); (3). 〔解析〕 常常要把被开方数的分子与分母同时乘以一个适当的数,使得分母成为一个平方数,然后把分母开出来. 解:(1)× = =2. (2)= =3. (3)= = . (教材例4)计算. (1)3×2; (2)-5; (3); (4)(+3)(-3); (5); (6). 〔解析〕 二次根式也可以进行加减运算,以前学过的有理数的运算法则、运算律仍然适用.当然,如果运算结果中出现某些项,它们各自化简后的被开方数相同,那么应该将这些项合并.第(3)(4)题要用到乘法公式中的完全平方公式和平方差公式. 解:(1)3×2=3×2×=6. (2)-5=-5=-5=6-5=1. (3)(+1)2=()2+2+1=5+2+1=6+2. (4)(+3)(-3)=-32=4. (5)- -=6-1=5. (6)=2+3=5. [设计意图] 从本例开始,正式进行二次根式的加、减、乘、除运算,设计时注意了题目的梯度.本例侧重于乘、除运算,只是已经开始考虑有关运算律和公式的运用(如交换律、结合律、分配律、乘法公式等)了.教学中,注意体会这些题目之间的层次性,教学中务必循序渐进地开展相关技能训练,让更多的学生感受到成功的喜悦. (教材例5)计算. (1); (2)- ; (3). 〔解析〕 把二次根式化为最简二次根式,能合并的要合并. 解:(1)=4=5. (2)- - --. (3)= =2+3=5. [知识拓展] 1.二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个有理式. 2.在·中,a,b必须满足a≥0,b≥0,否则,就没有意义. 3.二次根式的乘法法则可以推广到多个二次根式相乘的运算,如··(x≥0,y≥0,z≥0). 4.二次根式的除法法则中被开方数的取值范围:由于b为分母,因此被开方数a,b的取值范围分别是a≥0,b>0. 5.二次根式的除法法则中的a,b既可以是数,也可以是代数式. 6.在运算中应注意约分要彻底. 二次根式的乘法法则和除法法则: ·(a≥0,b≥0),(a≥0,b>0). 二次根式也可以进行加减运算,实数的运算法则、运算律仍然适用. 1.化简. (1)× ; (2); (3)2; (4) -; (5)3-- ; (6)(-)2. 解:(1)× . (2)= . (3)2=2=2×=2×2×+4×=4+4=8. (4) ---+5-4. (5) 3-- =3--=3×--=6-3-. (6)(-)2=()2-2·+()2=6-2+2=8-4. 2.化简. (1) 7-; (2) ; (3) ; (4)()(-). 解:(1) 7-= 7-. (2) = =5. (3) = =3. (4)()(-)=()2-()2=5