专题27.5 相似三角形的性质及应用（知识讲解）-2020-2021学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

专题27.5 相似三角形的性质及应用（知识讲解） 【学习目标】 1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算； 2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）. 【要点梳理】 要点一、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比 ∽，则 由比例性质可得： 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方 ∽，则分别作出与的高和，则 要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 要点二、相似三角形的应用 1.测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 2.测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 　1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 　　 要点诠释：　 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 　　2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 　　3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 【典型例题】 类型一、相似三角形的性质 1. 已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE． （1）求证：DE⊥BE； （2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE=CD•DE． 【答案与解析】 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO=BD， ∵OE=OB， ∴OE=BD， ∴∠BED=90°， ∴DE⊥BE； （2）∵OE⊥CD ∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°， ∴∠CEO=∠CDE， ∵OB=OE， ∴∠DBE=∠CDE， ∵∠BED=∠BED， ∴△BDE∽△DCE， ∴， ∴BD•CE=CD•DE． 【总结升华】本题综合性较强，考查了相似三角形 、直角三角形以及平行四边形相关知识，而熟记定理是解题的关键． 举一反三 【变式】 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（　　） 　 A．3：4 B． 9：16 C． 9：1 D． 3：1 【答案】B． 提示：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴DC∥AB， ∴△DFE∽△BFA， ∵DE：EC=3：1， ∴DE：DC=1=3：4， ∴DE：AB=3：4， ∴S△DFE：S△BFA=9：16． 故选：B． 2. 如图，△ABC中，AC=6，AB=4，点D与点A在直线BC的同侧，且∠ACD=∠ABC，CD=2，点E是线段BC延长线上的动点，当△DCE和△ABC相似时，线段CE的长为　 　． 【思路点拨】根据题目中的条件和三角形的相似，可以求得CE的长，本题得以解决． 【答案】3或． 【解析】解：∵△DCE∽△ABC，∠ACD=∠ABC，AC=6，AB=4，CD=2， ∴∠A=∠DCE， ∴或 即或 解得，CE=3或CE= 故答案为：3或． 【总结升华】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似解答． 举一反三： 【变式】有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比. 【答案】设原地块为△ABC，地块在甲图上为△A1B1C1，在乙图上为△A2B2C2. 　　　　∴ △ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2 　　　　且，， 　　　　∴， 　　　　∴. 类型二、相似三角形的应用 3. 如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？ 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 【答案与解析】如上图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之