沪教版（上海）八年级第一学期第七讲 一元二次方程的解法（一）

第七讲 一元二次方程的解法（一） 知识精讲 知识点1 直接开平方法 如果一元二次方程的一边含有未知数的代数式的平方，另一边是一个非负数的常数，那么就可以直接用开平方法求解，这种方法适合 的形式求解. 【例题1】用直接开平方解下列方程： （1） ； （2） ； （3） . 【解析】用直接开平方解方程，可先将方程化成左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负数的常数形式，再根据平方根的定义求解. 移项得 ，开平方得 .所以 移项得 ， 方程两边都乘以2，得 ， 知识点2 因式分解法 因式分解法的定义：运用因式分解的手段求一元二次方程根的方法叫做因式分解法. 因式分解的理论依据是：若两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个等于零. 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： （1）将方程右边化为0； （2）将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积； （3）令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程； （4）分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 【例题2】用因式分解法解下列方程： . （2） . （4） . （5） . （6） （ 为常数）. 【解析】（1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） ；（6） 知识点3 配方法 定义：像这样先把方程中的常数项移到方程右边，再把方程的左边配成完全平方式，然后利用直接开平方法求出一元二次方程的解的方法叫做配方法. 配方法是数学解题中的一种重要的思想方法，它不仅在解一元二次方程方面有所应用，而且在其他数学问题方面的应用也极为广泛. 配方法的理论依据是完全平方公式： . 用配方法解一元二次方程 的一般步骤： （1）先把二次项系数化为1. 具体方法是：在方程左右两边同时除以二次项的系数； （2）移项：把常数项移到方程的右边； （3）配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程化成 的形式； （4）当 时，用直接开平方的方法解变形后的方程；当n＜0时，原方程无解； 【例题3】用配方法解下列方程： （1） ； （2） . 【解析】（1） （2） 【例题4】如果 ，求 的值. 【解析】设 ，则原方程化为 ，解得 ， 即 或 ，又 ，∴ . 【例题5】用配方法求： （1） 的最小值； （2） 的最大值. 【解析】（1） ； （2） . 【例题6】 的三边 的长度是 的解，求 的周长. 【解析】 的解为 .不妨设 ，并且满足 ， 所以有以下几种可能： （1）当 时， ；（2）当当 时， ； 当 时 ；（4）当 时不能构成三角形三边，此 种情况不可能. 【例题7】若X2 + XY + Y =14，,Y2 + XY + X =28，求X+Y的值. 【解析】把X2 + XY + Y =14和Y2 + XY + X =28两式相加整理得： X2+2XY +Y2+X+ Y =42 ∴ （X+Y)2+(X+Y)-42=0 ∴ X+Y=-7或X+Y=6 【课堂练习】 1. 方程左边配成一个完全平方式，所得的方程是 ． 2. 关于的方程的根　　　　，　　　　　． 3. 关于的方程的解为　　　　　 4. 已知正方形边长为 ，面积为 ，则 （　　） A． B． C． 的平方根是 D． 是 的算术平方根 5．方程 的根是 ( ) A． B． C． D． 6．下列方程 ， ， 中，有一个公共解是 ( ) A． B． C． D． 7．方程 解为 ( ) A． B． C． D． 8．方程( 的根为 ( ) A． B． C． D．以上答案都不对 9．方程 的根为