第六讲 一元二次方程的概念

第六讲 一元二次方程的概念 知识精讲 知识点1 整式方程 都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程.如我们以前学过的一元一次方程和我们将要学习的一元二次方程都是整式方程. 知识点2 一元二次方程的概念 2、一元二次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.如： 等都是一元二次方程. 【说明】（1）一元二次方程属于整式方程，定义中的“只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2”这句话是指对方程“整理合并”之后而言的. 由一元二次方程的概念可知，只有同时满 足三个条件：①方程的两边都是关于未知数的整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2，这样的方程才是一元二次方程. 判断一个方程是否为一元二次方程时，先观察其是否属于整式方程，再看其合并同类项后是否符合“只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2”. 【例题1】下列方程中，哪些是一元二次方程，哪些不是一元二次方程？ ① ；② ；③ ；④ ； ⑤ ；⑥ （ 为已知数）；⑦ . 【解析】判断一个方程是不是一元二次方程，首先要看它是不是整式方程，如果是整式方程，那么可把方程进行整理，若得到的方程只含一个未知数，且未知数的最高次数是2次，则原方程就是一个一元二次方程.所以只有③和⑦是一元二次方程，其他的都不是一元二次方程. 【例题2】当 取何值时，方程 是一元二次方程. 【解析】根据题意得 解方程组得 . 【提高】1、已知关于 的方程： . （1）当 为何值时，方程是一元二次方程； （2）当 为何值时，方程是一元一次方程. 【解析】（1） 且 ；（2） . 2、已知关于x的方程（m2﹣8m+20）x2+2mx+3=0，求证：无论m为任何实数，该方程都是一元二次方程. 解：∵ m2﹣8m+20=（m2﹣8m+16）+4=（m﹣4）2+4，  ∴（m﹣4）2≥0  ∴（m﹣4）2+4≠0 ∴无论m取何实数关于x的方程（m2﹣8m+20）x2+2mx+3=0都是一元二次方程． 【思考】 2X2a+b+ Xa+b + 3 = 0是关于X一元二次方程，求a与b的值. 解得 解得 （3） 解得 （4） 解得 （5） 解得 知识点3 一元二次方程的一般形式 任何一个关于 的一元二次方程都可以化成 （ 都是常数， ），这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中 分别叫做二次项、一次项和常数项， 分别叫做二次项系数和一次项系数. 【例题3】将下列关于 的一元二次方程化成一般形式，再写出它的二次项系数、一次项 系数及常数项. （1） ； （2） . 【解析】（1）移项得 ，∴二次项系数是6，一次项系数是-3，常数项是-2. （2）去括号，合并同类项，得 ，∴二次项系数是1， 一次项系数是 ，常数项是 . 【例题4】把下列一元二次方程化成一般式，并指出方程中的各项与各项的系数. （1） ； （2） . 【解析】（1）去括号合并同类项后得 ，所以二次项是 ，系数是4；一 次项是 ，一次项系数是-2，常数项是-5. （2）去括号合并同类项得 ，所以二次项是 ， 系数是 ；一次项是 ，系数是-1；常数项是 知识点4 一元二次方程的解 能使一元二次方程左、右两边都相等的未知数的值，称为一元二次方程的解. 【例题5】判断方程后面括号里的数是否是方程的解. （1） ； （2） . 【解析】（1） 是这个方程的解，2也是这个方程的解； （2） 是这个方程的解， 不是这个方程的解. 【例题6】3、-2、 是不是一元二次方程 的根？ 【解析】3， 是这个方程的根；-2不是这个方程的根. 【提高】关于 的一元二次方程 有一根为0，求 的值. 【解析】把 代入得 ，∵ ， ∴ 代入得 【课堂练习】 一、填空题： 1．关于 的方程 是一元二次方程,则 ___________． 2．方程 化成一般形式是_______________,二次项系数是____,一次项系数是____,常数项是______. 3．方程 的解为______________. 4．关于 的一元二次方程 有一个解为0 , 则 ______. 二、选择题： 5．在下列各式中 ① ② ③ ④ 是一元二次方程的共有