第1讲集合初步（1）-【新教材】沪教版（2020）高中数学必修第一册讲义（简单，学生版+教师版）

集合初步（1） 集合的概念，集合的表示方法，集合之间的关系 知识讲解 一、集合的概念 1.集合 某些指定的对象集在一起成为集合．集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作；若b不是集合A的元素，记作； 2.集合的性质 确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立； 互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素； 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关； 二、集合的表示 1.集合的三种表示方法 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 例如：， 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内． 例如：大于的所有整数表示为： 方程的所有实数根表示为：{|} 图示法 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法． 2.常用数集及其记法 非负整数集（或自然数集），记作； 正整数集，记作或； 整数集，记作； 有理数集，记作； 实数集，记作． 三、集合之间的关系 1.子集关系 定义：若集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作AB（或）； 简单性质：1）AA；2）A；3）若AB，BC，则AC； 2.真子集关系 对于两个集合与，若且，则集合是集合的真子集，记作（或） 相等关系：对于两个集合与，如果，且 ，那么集合与相等，记作 3.空集 定义：不含任何元素的集合叫做空集 性质：空集的特殊属性，即空集虽空，但空有所用。对任意集合A，有，；；；。 注意事项： ①与是不同的，只是一个数字，而则表示集合，这个集合中含有一个元素，它们的关系是 ②与是不同的，中没有任何元素，则表示含有一个元素的集合，它们的关系是两个集合之间的关系（） ③与是不同的，中没有任何元素，则表示含有一个元素的集合，它们的关系是或或 ④显然，， 4.子集个数问题 设集合A中元素个数为，则①子集的个数为，②真子集的个数为，③非空真子集的个数为 典型例题 一．选择题（共12小题） 1．下列命题中正确的是（　　） （1）∅与{0}表示同一集合； （2）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}； （3）方程（x﹣1）2（x﹣2）=0的所有解的集合可表示为{1，1，2}； （4）集合{x|2＜x＜5}可以用列举法表示． A．只有（1）和（4） B．只有（2）和（3） C．只有（2） D．以上语句都不对 【解答】解：（1）∅没有元素，{0}表示有0这一个元素，故不是同一集合；故（1）错误； （2）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}，故（2）正确； （3）方程（x﹣1）2（x﹣2）=0的所有解的集合可表示为{1，2}；故（3）错误； （4）集合{x|2＜x＜5}不可以用列举法表示，故（4）错误， 故选：C． 　 2．下列说法正确的是（　　） A．很小的实数可以构成集合 B．{y|y=x2﹣1}={（x，y）|y=x2﹣1} C．自然数集N中最小的数不是1 D．空集是任何集合的真子集 【解答】解：A、对于“很小”不确定，故本选项错误； B、对于集合{y|y=x2﹣1}表示的是函数y=x2﹣1的值域；而集合{（x，y）|y=x2﹣1}表示的是y=x2﹣1图象上的点，故本选项错误； C、自然数集N中最小的数是0，故本选项正确； D、空集是任何非空集合的真子集，但不是空集的真子集，故本选项错误； 故选：C． 　 3．下列关系式中，正确的是（　　） A．∅∈{0} B．0⊆{0} C．0∈{0} D．∅={0} 【解答】解：对于A∅⊆{0}，用“∈”不对， 对于B和C，元素0与集合{0}用“∈”连接，故C正确； 对于D，空集没有任何元素，{0}有一个元素，故不正确． 　 4．已知全集U=R，N={x|﹣3＜x＜0}，M={x|x＜﹣1}，则图中阴影部分表示的集合是（　　） A．{x|﹣3＜x＜﹣1} B．{x|﹣3＜x＜0} C．{x|﹣1≤x＜0} D．{x＜﹣3} 【解答】解：由图象知，图中阴影部分所表示的集合是N∩（CUM）， 又M={x|x＜﹣1}， ∴CUM={x|x≥﹣1} ∴N∩（CUM）=[﹣1，0） 故选：C． 　 5．有以下四个集合（1）{x|x2﹣2x+1=0}；（2）{﹣1，2}；（3）{（﹣1，2）}；（4）{边长为3，4的三角形}．其中为单元素集合的是（　　） A．（3）（4） B．（1）（3