苏科版 八年级数学上册期中培优 ：全等、等腰与勾股定理综合：手拉手模型、半角模型与鸡爪模型应用（无答案）

《八年级数学期中培优》全等、等腰与勾股综合：手拉手模型、半角模型与鸡爪模型应用 1．在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°． （1）如图1，当点A、C、D在同一条直线上时，AC=12，EC=5． ①求证：AF⊥BD， ②求AF的长度； （2）如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时．求证：AF⊥BD； （3）如图3，在（2）的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，∠AFG是一个固定的值吗？若是，求出∠AFG的度数，若不是，请说明理由． 图1 图2 图3 2、如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=900，D在AB边上一点。 （1）求证：△ACE≌ △BCD；(2)已知：AD=5，BD=12. 求：DE的长. 3、 如图，ΔABC，ΔCDE是边等三角形，C为线段AE上一不动点，下列结论：①CN∥AB；②AD=BE； ③∠AOE=120°；④CM=CN；⑤OC平分∠AOE；⑥OB+OC=OA；⑦DM=CN其中正确的有 O A M N D E C B 4、（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论． （2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？ （3）深入探究： Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论． Ⅱ．如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论． 5、在△ABC中，AB=AC，D是线段BC的延长线上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD， ∠DAE=∠BAC，连接CE． （1）如图，点D在线段BC的延长线上移动，若∠BAC=30，则∠DCE= ． （2）设∠BAC=α，∠DCE=β． ①如图，当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由． ②当点D在直线BC上（不与B、C重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论． 6、将图形中的三角形绕某一点作适当旋转，可帮助解决很多几何问题： （1）如图1，直角△ABC中，AB=AC ，∠BAC=90°，D为BC边上的一点，将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACF，作AE平分∠DAF交BC于E，请证明：BD2+CE2=DE2； （2） 如图2，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四边形ABCD的面积是64cm2， 则AC长是 cm； （3） 如图3，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．∠ADC=30°，AD=2，BD=3， 求CD的长． 7. 阅读理解：（1）如下图，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则∠APB=________。 分析：由于PA，PB不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处， 此时△ACP′≌_____________这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数。 （2） 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：已知如右图，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC， E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：EF2=BE2+FC2 。 8、如图，是等边三角形内的一点，连结，以为边作，且，连结． （1）观察并猜想与之间的大小关系，并证明你的结论． （2）若，连结，试判断的形状，并说明理由． 9、如图. 在△ABC中, ∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC内一点,且PA=3,PB=1,PC=2, 则∠BPC度数为 ° 10、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB＝AC，D是△ABC内一点，且∠DAC=∠DCA=15°， 求证：BD＝BA． 11．阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值． 小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合