新高考数学【强基计划】培优生同步专题讲座 2：函数三要素解题方法导引

新高考数学培优生专题讲座：函数三要素解题方法导引 本专题介绍函数定义域三种类型题、求值域的五种解题方法、求解析式的五种解题方法和分段函数的解题方法导引。 题型一　求函数的定义域 eq \a\vs4\al(定义域是使函数关系式有意义的自变量x的取值范围)，常见函数定义域问题有三类（1）已知解析式，求函数定义域;(2)抽象函数求定义域（复合函数）（3）实际应用问题情境中求函数定义域。 第一类：已知解析式，如果没有特殊要求，默认定义域是使解析式有意义的所有实数的集合. 【例1】　求下列函数的定义域： (1)y＝(x－1)0＋eq \r(\f(2,x＋1))；(2)y＝eq \f(（x＋1）2,x＋1)＋eq \r(1－x). 【解析】　(1)要使函数有意义，当且仅当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1≠0，,\f(2,x＋1)≥0，,x＋1≠0，)) 解得x>－1且x≠1，所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}. (2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1≠0，,1－x≥0，)) 解得x≤1且x≠－1，即函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}. 【解题方法导引】　当函数解析式较复杂，要先确定全部限制条件，依次列出不等式或不等式组，再分别求出每个不等式的解集，最后求出这些集合的交集即为函数的定义域. 【牛刀小试】　(1)函数f(x)＝eq \f(\r(2x－1),x2－1)的定义域为(　　) A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xx≥\f(1,2))) B.{x|x>1} C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\f(1,2)≤x<1或x>1)) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x－1≤x≤\f(1,2)或x>1)) (2)设全集为R，函数f(x)＝eq \r(2－x)的定义域为M，则∁RM为(　　) A.{x|x>2} B.{x|x<2} C.{x|x≤2} D.{x|x≥2} 【解析】　(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1≥0，,x2－1≠0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,2)，,x≠±1，)) 即x≥eq \f(1,2)且x≠1，故选C. (2)自变量x的取值必须满足2－x≥0，即x≤2， ∴M＝{x|x≤2}，∴∁RM＝{x|x>2}，故选A. 答案　(1)C　(2)A 第二类：抽象函数求定义域（复合函数），函数f[g(x)]是复合函数，在研究f[g(x)]与f(x)定义域关系是遵循两个原则，① f[g(x)]中“g(x)”的范围与f(x)中“x”范围保持一致，或者前者是后者的子集；② f[g(x)]的定义域是指其中“x”的取值集合。 【例2】已知函数 的定义域是，则函数 的定义域是（ ） A． B． C． D． 【解析】∵函数 的定义域是 ∴ 解之得： 故选：C 第三类 ：实际应用问题情境中求函数定义域。实际应用中函数定义域问题受实际问题限制。要根据生活实际具体问题具体分析。 【例3】吉林省博物馆为了保护一件珍贵文物，需要在馆内一种透明又密封的长方体玻璃保护罩内充入保护液体.该博物馆需要支付的总费用由两部分组成：①罩内该种液体的体积比保护罩的容积少0.5立方米，且每立方米液体费用500元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为2立方米时，支付的保险费用为4000元. （Ⅰ）求该博物馆支付总费用 与保护罩容积 之间的函数关系式，并求定义域。 （Ⅱ）求该博物馆支付总费用的最小值. 【解析】（1）先依据题设分别求出支付的保险费用 和保护液体的费用 ，再求出运总费用 与保护罩容积 之间的函数关系式 ，（ ）；（2）依据题设条件运用基本不等式求出 的最小值，从而确定函数 的最小值： 解：（Ⅰ）由题意设支付的保险费用 ，把 ， 代入，得 . 则有支付的保险费用 （ ） 故总费用 ，定义域为（0.5，＋∞). （Ⅱ）因为 当且仅当 且 ， 即 立方米时不等式取等号， 所以，博物馆支付总费用的最小值为3750元. 题型二 求函数值域 【解题方法导引】求函数值域的常用方法 (1)观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，或者不等式基本性质，求出函数的值域. (2)配方法：若函数是二次函数形式，即可化为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)型的函数，则可通过配方再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间的二次函数最值的求法. (3)换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂