专题二 等腰三角形与等边三角形（含30°角）的强化-2020-2021学年八年级数学上册专项易错混淆真题选（人教版）

专题二 等腰三角形与等边三角形（含30°角）的强化 【技巧解析】 1．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 2．等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 3．等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 4. 等边三角形的定义与性质 1、定义：三边都相等的三角形是等边三角形。 2、性质： （1） 等边三角形的三边都相等； （2） 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°； （3） 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线； （4） 各边上的高、中线、对应角平分线重合，且长度相等。 5. 等边三角形的判定 判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形； 判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 6. 有一个角是30°的直角三角形的性质 1、 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2、 作用：应用于证线段的倍数关系和计算角度。 3、 推论：在直角三角形中，若一直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的角为30°。 一．选择题（共12小题） 1．（2020·常熟市外国语初级中学月考）如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=65°，AB的垂直平分线MN交于AC于D点，则∠DBC的度数是 （ ） A．15° B．20° C．25° D．30° 2．（2020·重庆巴南月考）如图，在ΔABC中，DE⊥BC，垂足为D，且BD＝DC，BF平分∠ABC，交CE于F．若BE=AC，∠ACE=12°，则∠EFB的度数为（ ）． A．58 B．63 C．67 D．70 3．（2020·山东大学附属中学）如图，已知．按照以下步骤作图：①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于，两点，连接．②分别以点，为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接，．③连接交于点．下列结论中错误的是（　　） A． B． C． D． 4．（2020·重庆月考）如图，在中，平分，，，则的长为（ ） A．3 B．11 C．15 D．9 5．（2020·沭阳县修远中学月考）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2020·山东泰山中学月考）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 7．（2020·泰兴市洋思中学月考）如图，在△ABC 中，AB＝AC，BO、CO 分别平分∠ABC、∠ACB，DE 经过点 O， 且 DE∥BC，DE 分别交 AB、AC 于 D、E，则图中等腰三角形的个数为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 8．（2020·西工大附中分校月考）如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条直线上，CM平分∠DCE，连接BE．以下结论：①AD＝CE；②CM⊥AE；③AE＝BE+2CM；④CM∥BE，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（2020·南部县第二中学月考）如图，过边长为1的等边△AB