第9讲 不等式的转化与分类讨论（提高）-【新教材】沪教版（2020）高中数学必修第一册知识点提升训练（学生版+教师版）

新高一同步 数学 “不等式的转化与分类讨论（提高）” 知识定位 在各类不等式问题中，第一眼似乎无从下手，所以我们要找到分类的方法并统一解决，这就涉及不等式的转化和分类讨论。在各个考试中的不等式题或多或少会涉及这个知识点，一般是中等的难度，是我们必须要熟练掌握的内容。 知识梳理 1． 含有参数的不等式 含有参数的不等式叫含参数的不等式.解含参数的不等式要分类讨论. 二．分式不等式与高次不等式 1．分式不等式：分母里含有未知数的不等式叫分式不等式: 即形如或（其中为整式且）的不等式，称为分式不等式。 解分式不等式可根据不等式的性质，将其转化为一元一次不等式组、一元二次不等式组或一元高次不等式组，然后再求得不等式的解集。而要求不等式组的解集，可以先分别求出不等式组中各个不等式的解集，再求这些解集的交集，这个交集就是不等式组的解集。在求得分式不等式时，需要注意的是使不等式中的分式有意义。 2．高次不等式：一般采用列表法或数轴标根法解简单的高次不等式。 对于简单的高次不等式，可先通过移项，将不等式的一边化为零，再将另一边的多项式分解成若干个一次因式或二次因式乘积的形式，并且使多项式中未知数的最高次项系数为正数，然后根据实数运算的符号法则，用列表或数轴标根法，求出不等式的解集。一般由于列表法比较烦，所以多数采用数轴标根法进行求解． 三．含绝对值的不等式 在绝对值符号里含有未知数的不等式叫绝对值不等式。解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值符号，一般有三种方法： （1）根据绝对值的意义作分类讨论； （2）两边平方，将绝对值不等式转化为不含绝对值符号的不等式后再进行求解。 （3）根据公式。 四．无理不等式： 被开方式里含有未知数的不等式叫无理不等式? 解无理不等式应根据不等式的性质先转化为有理不等式组，然后再进行求解。在转化过程中必须注意： （1）含有未知数的根式都有意义； （2）必须讨论不等式两边的符号； （3）不等式两边均为非负数时，才能同时进行同次乘方，消去根号。 具体求解如下： 例题精讲 【题目1】解关于x的不等式 【解析】将原不等式展开，整理得： 讨论：当时， 当时，若≥0时；若<0时 当时， 【知识点】分类讨论 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【题目2】关于x的不等式 对于恒成立，求a的取值范围． 【解析】当a>0时不合 ， a=0也不合 ∴必有： 【知识点】分类讨论 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】2 【题目3】解不等式 【答案】 【解析】原不等式可化为 因为两个数的商与积同号，所以分式不等式与不等式(5x-5)(3x-2)<0的解集相同． 解不等式(5x-5)(3x-2)<0，得， 所以，原不等式的解集为 【知识点】不等式基本性质 【适用场合】当堂例题 【难度系数】1 【题目4】当m为何值时，关于x的方程m(x-1)＝3(x+2)的解是正数?是负数? 【答案】当m∈(-∞，-6)∪(3，+∞)时，原方程的解正数；当,m∈(-6，3)时，原方程的解是负数． 【解析】原方程可以化为 (m—3)x＝m+6． 若m＝3，则原方程无解． 若m≠3，则原方程的解是，. 当方程的解是正数，即 时，解这个关于，m的不等式，得解集为(-∞，-6)∪(3，+∞)． 当方程的解是负数，即 ，时，解这个关于m的不等式，得解集为(-6，3)． 因此，当m∈(-∞，-6)∪(3，+∞)时，原方程的解正数；当,m∈(-6，3)时，原方程的解是负数． 【知识点】分类讨论 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【题目5】解不等式： 【解析】由得 整理得 由于一元二次方程x2+2x+3＝0的根的判别式Δ=-8<0，因此对于任何实数x，分母x2+2x+3的值都大于零．于是原不等式与不等式2x2+3x-2>0的解集相同． 解不等式2x2+3x-2>0，得或. 所以，原不等式的解集为 【知识点】根的判别式 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【题目6】解不等式 【解析】由绝对值不等式的意义，得-5<2x-3<5． 在两个不等式的两边都加上3，得-2<2x<8， 解得-1<x<4。 所以，原不等式的解集为(一l，4)． 【知识点】绝对值的意义 【适用场合】当堂例题 【难度系数】1 【题目7】对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】恒成立问题，实际上就有，而利用数形结合的办法我们很容易得到的最小值为3. 【知识点】数形结合 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3 【题目8】解不等式： 【解析】由绝对值不等式的意义，原不等式可化为 x2-3x>4 ① 或 x2-3x<-4． ②