第8讲 不等式恒成立、不等式有解问题（提高）-【新教材】沪教版（2020）高中数学必修第一册知识点提升训练（学生版+教师版）

新高一同步秋季讲义 数学 “不等式恒成立、不等式有解问题（提高）” 知识定位 不等式恒成立与有解问题一直是中学数学的重要内容. 它是函数、数列、不等式等内容交汇处的一个较为活跃的知识点，随着中学数学引进导数，它为我们更广泛、更深入地研究函数、不等式提供了强有力的工具. 在近几年的高考试题中，涉及不等式恒成立与有解的问题，有时在同一套试题中甚至有几道这方面的题目 知识梳理 不等式恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一团. （1）不等式f(x)<k在x I时恒成立 x I. 或f(x)的上界小于或等于k； （2）不等式f(x)<k在x I时有解 x I. 或f(x)的下界小于k； （3）不等式f(x)>k在x I时恒成立 x I. 或f(x)的下界大于或等于k； （4）不等式f(x)>k在x I时有解 x I. 或f(x)的上界大于k； 解决不等式恒成立和有解解问题的基本策略常常是构作辅助函数，利用函数的单调性、最值（或上、下界）、图象求解；基本方法包括：分类讨论，数形结合，参数分离，变换主元等等. 例题精讲 【题目1】(1)解不等式组 。 （2）不等式组 的整数解值只有 ，求实数 的范围。 【解析】（1）原不等式等价于 ， 。 （2）由 或 ① 由题意知-2满足不等式 得a<2, 又 ② 将①②在数轴上表示出来 为使①②的公共部分所包含的整数只有-2，则-a的值必须满足：-2<-a≤3.∴-3≤a<2. 【知识点】不等式的性质 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【题目2】若 ，解关于 的不等式 【解析】原不等式等价于 ，所以 。 【知识点】不等式的性质 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【题目3】当 为何值时，不等式 ，对一切实数都成立。 【解析】（1）若 ，即 时，由 ，解得 。 （2）当 时，即 时，原不等式为5 对一切实数恒成。 综合上述 时，原不等式对一切实数都成立。 【知识点】分类讨论 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3 【题目4】关于 的不等式 的解集包含区间（1，2）时，求实数 的范围。 【解析】设 ，则函数y=f(x)的图象是一条开口向上的抛物线；依题意，f(x)<0的解集包含区间（1，2），所以抛物线与x轴的交点应在（1，2）之外或在区间端点处，如图 由此可得 【知识点】函数的性质 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3 【题目5】设集合 ，并且 ，求实数 的范围。 【解析】 ， EMBED Equation.3 。 【知识点】函数的性质 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3 【题目6】解关于 的不等式 。 【解析】（1）当m=0时，原不等式的解为x∈(-∞,-1). (2) 当m≠0时，原不等式的解为(mx-2)(x+1)>0, . 当m<-2时，原不等式的解为x∈ . 当-2<m<0时，原不等式的解为x∈ 。 当m=-2时，原不等式的解为Φ. 当m>0时，原不等式的解为x∈ . 【知识点】分类讨论 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3 【题目7】设不等式 的解集为 ，试求不等式 的解集。 【解析】不等式 的解集为 ，∴a<0,并且 是方程 的两个正根。于是有 ， 。 又也 ， 所以 是方程 的两个正根。并且 。 所以 的解集为 【知识点】不等式的性质 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3 【题目8】对于满足|p| 2的所有实数p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范围。 【解析】不等式即(x-1)p+x2-2x+1>0,设f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0，故有： 即 解得： ∴x<-1或x>3. 【知识点】函数的性质 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3 【题目9】设f(x)=x2-2ax+2,当x [-1,+ )时，都有f(x) a恒成立，求a的取值范围。 【解析】设F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a. ⅰ)当 =4（a-1)(a+2)<0时，即-2<a<1时，对一切x [-1,+ )，F(x) 0恒成立； ⅱ）当 =4（a-1)(a+2) 0时由图可得以下充要条件： 即 得-3 a -2; 综合可得a的取值范围为[-3，1]。 【知识点】分类讨论 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3 【题目10】关于x的方程9x+(4+a)3x+4=0恒有解，求a的范围。 【解析】设3x=t,则t>0.则原方程有解即方程t2+(4+a)t+4=0有正根。 即 EMBED Equation.3 解得a -8. 【知识点】函数的性质 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3 【题目11】已知当x R时，不等式a+co