第7讲 不等式的基本性质（提高）-【新教材】沪教版（2020）高中数学必修第一册知识点提升训练（学生版+教师版）

高一同步秋季讲义 数学 “不等式的基本性质（提高）” 知识定位 需要熟练掌握不等式的各个性质，学会用几个常用的方法来判断不等关系。该知识点在高考会考中是较为基础的，一般不会有难题出现，而在自招中则可能出现较偏较怪不易下手的题。对于基本的不等式性质，在各类题中都会有应用，所以应该有透彻的理解和熟练运用。 知识梳理 性质1(传递性)：如果a>b，且b>c，那么a>c．(传递性) 即a>b，b>c a>c 证明：∵a>b，b>c ∴a-b>0， b-c>0 根据两个正数的和仍是正数，得 (a-b)+( b-c)>0 即a -c>0 ∴a>c 根据定理l，定理2还可以表示为：c<b，b<a c<a 点评：这是不等式的传递性、这种传递性可以推广到n个的情形． 性质2(加法的单调性)：如果a>b，那么a+c>b+c． 即a>b a+c>b+c 证明：∵a>b， ∴a-b>0， ∴(a+c)-( b+c)>0 即a+c>b+c 点评：(1)定理3的逆命题也成立； (2)利用定理3可以得出：如果a+b>c，那么a>c-b，也就是说，不等式中任何一项改变符号后，可以把它从—边移到另一边． （2）两个同向不等式的两边分别相减时，不能作出一般的结论； 性质3(乘法的单调性)：如果a>b,c>0,那么ac>bc; 如果a>b,c<0,那么ac<bc; 证明：ac-bc=(a-b)c,∵a>b,∴(a-b)>0. 当c>0时，则有(a-b)c>0; 即有ac>bc; 当c<0时，则有(a-b)c<0; 即有ac<bc; 性质4： 。推广: 性质5：同向不等式相加的性质：（例1）：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d． 即a>b， c>d a+c>b+d． 证法一： a+c>b+d 证法二： a+c>b+d 点评：（1）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向； (2) (减法法则). 分析：思路一：证明“a－c＞b－d”，实际是根据已知条件比较a－c与b－d的大小，所以以实数的运算性质与大小顺序之间的关系为依据，直接运用实数运算的符号法则来确定差的符号，最后达到证题目的 证法一：∵a＞b，c＜d ∵a－b＞0，d－c＞0 ∴（a－c）－（b－d） ＝（a－b）＋（d－c）＞0(两个正数的和仍为正数) 故a－c＞b－d 思路二：我们已熟悉不等式的性质中的定理1～定理3及推论，所以运用不等式的性质，加以变形，最后达到证明目的 证法二：∵c＜d ∴－c＞－d 又∵a＞b ∴a＋（－c）＞b＋（－d） ∴a－c＞b－d. 性质6：不等式倒数的性质： 。 性质7 若 性质8 若 注意：遇到困难时，可从问题的反面入手，即所谓的“正难则反” ．我们用反证法来证明定理5，因为反面有两种情形，即 和 ，所以不能仅仅否定了 ，就“归谬”了事，而必须进行“穷举” 证明：假定 不大于 ，这有两种情况： ，或者 由推论2和定理1，当 时，有 ；当 时，显然有 这些都同已知条件 矛盾 所以 在证明的过程中也能体会，对于不等式的处理大概可以分为：比较法（作差法与作商法），以及综合分析法。所谓综合分析法，指的是从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，使得问题转化为判断那些条件是否具备。实际上这是一个逆推的过程。当然有些时候，光逆推可能也不是很有用，还需要正推，即两头挤的方法。也就是我需要从已知出发，推出一个不等式，同时再从结论出发，逆推到我从已知推出的不等式，就证明了问题。不过从本质上来讲，这都是一个从结论出发将现有不等式化简为一个比较容易证明的不等式的过程。 例题精讲 1.比较大小 【题目1】比较（x2＋1）2与x4＋x2＋1的大小 【解析】由题意可知： （x2＋1）2－（x4＋x2＋1） ＝（x4＋2x2＋1）－（x4＋x2＋1） ＝x4＋2x2＋1－x4－x2－1 ＝x2 当x＝0时，（x2＋1）2＝x4＋x2＋1 当x≠0时，（x2＋1）2＞x4＋x2＋1 分析：此题与例1基本类似，也属于两个代数式比较大小，但是其中的x有一定的限制，应该在对差值正负判断时引起注意，对于限制条件的应用经常被学生所忽略 【知识点】乘法公式，去括号法则，合并同类项 【适用场合】当堂例题 【难度系数】1 【题目2】 比较a4–b4与4a3(a–b)的大小． 【解析】 a4–b4 – 4a3(a–b) =(a–b)(a+b)(a2+b2) –4a3(a–b) = (a-b)(a3+ a2b+ab2+b3–4a3) ＝(a-b)[(a2b–a3)+(ab3–a3)+(b3-a3)] =– (