第5讲 命题的否定和反证法（提高）-【新教材】沪教版（2020）高中数学必修第一册知识点提升训练（学生版+教师版）

高一同步 数学 “命题的否定和反证法（提高）” 知识定位 反证法应有适当的了解，是一种重要的证明思想；其余部分必须掌握。 知识梳理 1. 命题的否定 2. 反证法 相关知识： 一些关键词语的否定写法： 关键词 大（小）于 或 有 全，都 任何每一个都 至少有一个 至多有一个 否定 不大（小）于 且 无 不全，不都 至少有一个不 一个也没有 至少有两个 全称命题（出现类似任意一个都、全、都等词语的命题）在否定时应改为存在性命题（出现类似至少有一个、存在等词语的命题） 为了简化书写，有时我们可以将全称量词，如“所有”、“任意”、“一切”等记为“”； 而存在量词，如“存在”、“有些”、“至少存在一个”等记为“”。 反证法：先假设要证明的命题的否定形式正确，进而推出矛盾，最后原命题得证。 例题精讲 【题目1】判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并写出它们的否定： （1）p:对任意的x∈R，都成立； （2）p: x∈R，x2+2x+5>0． 【答案】（1）全称命题；否定：至少存在一个x∈R，使成立； （2） 存在命题；否定：对任意一个x都有x2+2x+5≤0，即x∈R , x2+2x+5≤0. 【解析】（1）由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称命题；又由于“任意的”的否定为“至少存在一个”；（2）由于“x∈R”表示至少存在实数中的一个x，即命题中含有存在量词“至少存在一个”，因而是存在性命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个” 【知识点】命题的否定 【适用场合】当堂例题 【难度系数】1 【题目2】已知命题“若三角形的三个内角都是锐角，则它是锐角三角形”，写出它的否定。 【答案】若三角形的三个内角存在锐角，则它不是锐角三角形。 【解析】注意命题的否定与命题的否命题的区别，命题的否定只否定该命题的结论，而否命 题则否定原命题的条件和结论。如本例中命题的否命题为：若三角形的三个角不都 是锐角，则它不是锐角三角形。我们还可以发现一个命题与它的否定是完全对立的， 命题真则否定假，否定假则命题真，而对于否命题，它的真假与原命题没有直接联 系，需具体分析。 【知识点】命题的否定 【适用场合】当堂例题 【难度系数】1 【题目3】求证：素数有无穷多个。 【解析】经典的反证法例题。 证明：运用反证法，假设只有有限个素数，设这些素数为 令，那么所有的素数都不是的因子。 故是不同于的另一个素数，与假设矛盾，故原命题得证。 【知识点】反证法 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 习题演练 【题目1】命题“任意常数列都是等比数列”的否定形式是__________________________. 【答案】存在一个常数列不是等比数列. 【解析】原命题是一个全称命题，故其否定应为存在性命题，即 存在一个常数列不是等比 数列. 【知识点】命题的否定 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】1 【题目2】命题“所有能被5整除的数都是偶数”的否定形式是_____________________. 【答案】存在一个能被5整除的数不是偶数 【解析】类似题目1 【知识点】命题的否定 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】1 【题目3】“x=0且y=0”的否定形式为_____________________. 【答案】x≠0或y≠0 【解析】注意“且”的否定是“或” 【知识点】命题的否定 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】1 【题目4】若p、q是两个简单命题，且“p或q”的否定形式是真命题，则（ ） A、p真q真 B、p真q假 C、p假q真 D、p假q假 【答案】D 【解析】因为“p或q”的否定为真，即“p或q”为假，所以选D 注意：一个命题与其否定形式互为真假命题，否命题则不然。 【知识点】命题的否定 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】1 【题目5】写出命题p“”的否定形式，求出当命题p为真命题时 的取值范围. 【答案】否定：； 【解析】当时，显然成立； 当时，要使此不等式恒成立，则，解得； 综上，. 【知识点】命题的否定 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】2 【题目6】求证：是无理数. 【解析】证明：用反证法，假设是有理数，即可以写成的既约分数形式 又 即 故是个偶数，所以也是偶数. 因为是偶数，所以是4的倍数，所以也是个偶数，即也是偶数. 而、