3.3 幂函数-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册同步讲义（学生版+教师版）

知识梳理 (1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数． (2)5个常见幂函数的图象与性质 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 函数 奇函数 单调性 在R上单调递增 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增 在R上单调递增 　 在(0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减 图象 过定点 (0,0)，(1,1) (1,1) 例题解析 题型一　幂函数的概念 注意：判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1. 例1 (1)在函数①y＝，②y＝x2，③y＝2x，④y＝1，⑤y＝2x2，⑥y＝x中，是幂函数的是(　　) A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥ (1) C 幂函数是形如y＝xα(α为常数)的函数，①是α＝－1的情形，②是α＝2的情形，⑥是α＝－的情形，所以①②⑥都是幂函数；③是指数函数，不是幂函数；⑤中x2的系数是2，所以不是幂函数；④是常函数，不是幂函数．所以只有①②⑥是幂函数．故选C. (2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________. (2)5或－1因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1. [跟踪训练] 1　若幂函数f(x)满足f(9)＝3，则f(100)＝________. 　设f(x)＝xα，由f(9)＝3，得9α＝3，∴α＝， ∴f(x)＝x，∴f(100)＝100＝10. 题型二　幂函数的图象及性质 注意：解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为： ①在x∈(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在x∈(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x或y＝x3)来判断. 例2 已知幂函数f(x)＝xα的图象过点P， （1） 画出f(x)的图象。 （2） 指出该函数的定义域与单调区间． （3） 判断奇偶性。 [解]　由f(2)＝，得2α＝，解得α＝－2，所以f(x)＝x－2. （1）f(x)的图象如图所示， （2）定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调减区间为(0，＋∞)，单调增区间为(－∞，0)． (3)由f(－x)＝(－x)－2＝x－2＝f(x)，得f(x)是偶函数． [跟踪训练] 2 (1)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为(　　) A.－2，－，，2 B.2，，－，－2 C.－，－2，2， D.2，，－2，－ (1) B解析　根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象当n>0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝；当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－，曲线C4的n＝－2，故选B. （2）如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则(　　) A．－1<n<0<m<1 B．n<－1,0<m<1 C．－1<n<0，m>1 D．n<－1，m>1 (2) B 解析 在(0,1)内取x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0<m<1，n<－1. 题型三　利用幂函数的性质比较大小 比较幂值大小的方法： (1)若指数相同，底数不同，则考虑幂函数． (2)若指数不同，底数相同，则考虑借助图象求解． (3)若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小． 例3　比较下列各组数中两个数的大小： (1)与； （2）与 解　(1)因为幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上是单调递增的， 又>，所以>. （2）因为＝30.3，而y＝x0.3在(0，＋∞)上是单调递增的， 又<3，所以<30.3，即<. [跟踪训练] 3 比较下列各组数中两个数的大小 (1)与； （2）与0.3 解 (1)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的， 又－<－，所以>. （2）因为y1＝在(0