3.2.2 奇偶性-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册同步讲义（学生版+教师版）

知识梳理 奇函数f(x) 偶函数g(x) 定义域 的特点 关于原点对称 关于原点对称 图象特点 关于原点成中心对称图形 关于y轴成轴对称图形 解析式的特点 f(－x)＝－f(x) f(－x)＝f(x) 奇偶函数的性质： 1.奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反. 2.若为偶函数，则. 3.若奇函数定义域中含有0，则必有.故是为奇函数的既不充分也不必要条件. 4.定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。 5.复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”. 6.既奇又偶函数有无穷多个，定义域是关于原点对称的任意一个数集. 用定义判定函数奇偶性的一般步骤为： ①先求定义域，考查定义域是否关于原点对称； ②有时需在定义域内对函数解析式进行变形、化简，再找f(－x)与f(x)的关系；判断函数奇偶性可用的变形形式：若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数． 例题解析 函数奇偶性的判断 【例1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x3＋x5；　(2)f(x)＝； (3)f(x)＝＋；　(4)f(x)＝. 解　(1)函数的定义域为R. f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)． ∴f(x)是奇函数． (2)函数的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称， ∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (3)由，得x＝±1， 此时f(x)＝0，x∈{－1,1}． ∴f(x)既是奇函数又是偶函数． (4)∵ ∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称． 此时f(x)＝＝. 又f(－x)＝＝－＝－f(x)， ∴f(x)＝为奇函数． 变式迁移1 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝－|x|；　(2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；　(3)f(x)＝＋. 解　(1)既是奇函数，又是偶函数． ∵f(x)＝0，f(－x)＝0， ∴f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)． (2)函数的定义域为R， ∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1| ＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)， ∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数． (3)由知x＝1， ∴函数f(x)的定义域为{1}， 不关于原点对称． 故f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． 分段函数奇偶性的证明 【例2】 已知函数f(x)＝，判断f(x)的奇偶性． 解　(1)当x<0时，－x>0， f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3 ＝－x2－2x－3＝－f(x)． (2)当x>0时，－x<0， f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3 ＝x2－2x＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)， 综上可知f(x)为奇函数． 规律方法　(1)对于分段函数奇偶性的判断，须特别注意x与－x所满足的对应关系，如x>0时，f(x)满足f(x)＝－x2＋2x－3，－x<0满足的不再是f(x)＝－x2＋2x－3，而是f(x)＝x2＋2x＋3. (2)要对定义域内的自变量都要考察，如本例分为两种情况，如果本例只有(1)就说f(－x)＝－f(x)，从而判断它是奇函数是错误的、不完整的． (3)分段函数的奇偶性判断有时也可通过函数图象的对称性加以判断． 变式迁移2 判断函数f(x)＝的奇偶性． 解　当x<0时，－x>0， f(－x)＝－x－1＝－(x＋1)＝－f(x)， 另一方面，当x>0时，－x<0， f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)＝－f(x)， 而f(0)＝0，∴f(x)是奇函数． 利用奇偶性求函数解析式 【例3】 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋3x－1，求f(x)的解析式． 分析　由奇函数的定义知f(0)＝0，再由f(－x)＝－f(x)可得当x<0时f(x)的表达式，构成定义在R上的奇函数． 解　∵f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)．∵当x<0时，－x>0， ∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋3(－x)－1] ＝－x2＋3x＋1. 又奇函数f(x)在原点有定义，∴f(0)＝0. ∴f(x)＝. 规律方法　(1)在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间里． (2)然后要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性把f(－x)写成－f(x)或f(x)，从而解出f(x)． 变式迁移2 已知f(x)是偶函数，且当x∈[－1,0]时，f(x)＝x＋1，试求函数f(x)在x∈[－1,1]上的表达式． 解　任取x∈[0,1]，则－x∈[－1,0]， f(－x)＝－x＋1. 又f(