3.2.1 最大值、最小值-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册同步讲义（学生版+教师版）

知识梳理 函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 . ①对于任意x∈I，都有f(x)≤M； ①对于任意x∈I，都有f(x)≥M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M. 结论 M为最大值 M为最小值 函数的最大值（最大值）实际上是函数图像的最高点（最低点）的纵坐标，因此，当函数图像易得时，可以根据函数图像直观求出函数的最值 利用函数的单调性求最值时，注意函数的单调性对函数最值的影响。即对于定义在[m,n]上的函数f（x），若f（x）单调递增，则f（x）的最大值为f（n），最小值为f（m）。若f（x）单调递增，则f（x）的最小值为f（n），最大值为f（m）。 函数的最值与值域有着密切关系，如果在函数的值域中存在最大数（最小数），这个数就是函数的最大值（最小值），因此可以借助函数的值域的求法确定最值。 函数单调性的判断 (1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论． (2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数． (3)导数法：利用导数研究函数的单调性． (4)图象法：利用图象研究函数的单调性． (5)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值． 恒成立问题与存在性问题 （1）解决恒成立问题的关键是将其等价转化，使之转化为函数的最值问题，或者区间上的最值问题，使问题得到解决。用函数思想作指导,解不等式的恒成立、能成立、恰成立问题的操作程序是这样的： A．恒成立问题 若不等式在区间上恒成立,则等价于函数在区间上的最小值大于； 若不等式在区间上恒成立,则等价于函数在区间上的最大值小于。 B．能成立问题----存在性问题 若在区间上存在实数使不等式成立，即在区间上能成立，则等价于函数在区间上的最大值大于A。 若在区间上存在实数使不等式成立，即在区间上能成立，则等价于函数在区间上的最小值小于。 C．恰成立问题 若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为； 若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为。 例题解析 【例1】求函数f(x)＝－x2＋|x|的单调区间．并求函数y＝f(x)在[－1,2]上的最大、小值． [解析]　由于函数解析式含有绝对值符号，因此先去掉绝对值符号化为分段函数，然后作出其图象，由图象便可以直观地判断出其单调区间．再据图象求出最值． ①∵f(x)＝－x2＋|x|＝ 即f(x)＝ 作出其在[－1,2]上的图象如右图所示 由图象可知，f(x)的递增区间为(－∞，－)和[0，]，递减区间为[－，0]和[，＋∞)． 【例2】已知函数f(x)＝(x∈[2，＋∞))， (1)证明函数f(x)为增函数． (2)求f(x)的最小值． [解析]　将函数式化为：f(x)＝x＋＋2 ①任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1＜x2， f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)(1－)． ∵x1＜x2，　∴x1－x2＜0， 又∵x1≥2，x2＞2，∴x1x2＞4,1－＞0. ∴f(x1)－f(x2)＜0，即：f(x1)＜f(x2)． 故f(x)在[2，＋∞)上是增函数． ②当x＝2时，f(x)有最小值. 【例3】 函数f(x)＝x2－4x－4在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值记为g(t)． (1)试写出g(t)的函数表达式； (2)作g(t)的图象并写出g(t)的最小值． 分析　本题需要先求f(x)的最小值，关键是分析其对称轴x＝2与区间[t，t＋1]的位置关系． 解　(1)f(x)＝x2－4x－4＝(x－2)2－8. 当t>2时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数， ∴g(t)＝f(t)＝t2－4t－4； 当t≤2≤t＋1，即1≤t≤2时，g(t)＝f(2)＝－8； 当t＋1<2，即t<1时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数， ∴g(t)＝f(t＋1)＝t2－2t－7. 从而g(t)＝ (2)g(t)的图象如图所示，由图象易知g(t)的最小值为－8. 规律方法　(1)含有参数的二次函数的值域与最值问题，主要考虑其顶点(对称轴)与定义域区间的位置关系，由此进行分类讨论． (2)二次函数的对称轴与定义域区间的位置通常有三种关系：①定义域区间在对称轴右侧；②定义域区间在对称轴左侧；③定义域区间在对称轴的两侧． 变式迁移2 求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值． 解　f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a. ①当a<0时，由图①可知， f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a. ②当0≤a<1时，由图②可知， f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a. ③当1≤a≤2时，由图③