3.2.1 单调性-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册同步讲义（学生版+教师版）

知识梳理 一、单调函数的定义 增函数 减函数 定义 设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当 Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数 Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数 图象 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 若函数f(x)在区间D上是 增函数 或 减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间． 二、单调性的判定方法（五种）： （1）定义法：利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： 任取x1，x2∈D，且x1<x2； 作差f(x1)－f(x2)； 变形（通常是因式分解和配方）； 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）． （2）应用已知函数的单调性．（一次函数、反比例函数、二次函数、“耐克”函数） 1、 一次函数 2、反比例函数 3、二次函数 4、“耐克”函数 （3） 和函数的单调性及一些重要结论：1）若f(x),g(x)均为增函数，则f(x)+g(x)仍为增函数；若f(x),g(x)均为减函数，则f(x)+g(x)仍为减函数． 2)函数与函数具有相同的单调性和单调区间； 3)函数与函数具有相同的单调性和单调区间，函数与函数具有相同单调区间上的单调性相反。 （4）图象法：利用图象研究函数的单调性． （5）复合函数单调性的结论： y＝f(t) 递增 递减 t＝g(x) 递增 递减 递增 递减 y＝f[g(x)] 递增 递减 递减 递增 以上规律可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”．不过要注意：单调区间必须注意定义域；要确定t＝g(x)(常称内层函数)的值域，否则无法确定f(t)(常称外层函数)的单调性． 例题解析 【例1】求下列函数的增区间与减区间 (1)y＝|x2＋2x－3| 解 (1)令f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4． 先作出f(x)的图像，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图像翻到x轴就得到y＝|x2＋2x－3|的图像，如图2．3－1所示． 由图像易得： 递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞) 递减区间是(－∞，－3]，[－1，1] (2)分析：先去掉绝对值号，把函数式化简后再考虑求单调区间． 解 当x－1≥0且x－1≠1时，得x≥1且x≠2，则函数y＝－x． 当x－1＜0且x－1≠－1时，得x＜1且x≠0时，则函数y＝x－2． ∴增区间是(－∞，0)和(0，1) 减区间是[1，2)和(2，＋∞) (3)解：由－x2－2x＋3≥0，得－3≤x≤1． 令u＝＝g(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4．在x∈[－3，－1]上是在x∈[－1，1]上是． ∴函数y的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]． 【例2】证明：函数f(x)＝x＋在(0,1)上是减函数． 分析　证明的关键是对f(x1)－f(x2)进行变形，尽量变形成几个最简单的因式的乘积形式． 证明　设0<x1<x2<1， f(x1)－f(x2)＝－ ＝(x1－x2)＋ ＝(x1－x2)＋＝， ∵0<x1<x2<1， ∴x1－x2<0，x1x2－1<0，x1x2>0. ∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)． ∴f(x)＝x＋在(0,1)上是减函数． 规律方法　证明函数的单调性的常用方法是利用函数单调性的定义．其步骤为(1)取值(注意x1、x2的任意性)；(2)作差变形(目的是便于判断符号)；(3)判断差的符号；(4)写出结论． 【例3】函数f(x)＝ax2－(3a－1)x＋a2在[－1，＋∞]上是增函数，求实数a的取值范围． 解 当a＝0时，f(x)＝x在区间[1，＋∞)上是增函数． 若a＜0时，无解． ∴a的取值范围是0≤a≤1． 【例4】已知f(x)＝(x≠a)． (1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围． 解析　(1)证明　任设x1<x2<－2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝. ∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，∴f(x1)<f(x2)， ∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增． (2)解　任设1<x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝－＝. ∵a>0，x2－x1>0， ∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1. 综上所述知0<a≤1. 【例5】已知：是定义在上的增函数，且,求的取值范围。