2.3.2 二次函数与一元二次方程-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册同步讲义（学生版+教师版）

知识梳理 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两相异 实根x1， x2(x1<x2) 有两相等实 根x1＝x2 ＝－ 没有 实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x≠x1} {x|x∈R } ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ 一元二次方程根的分布:设的两根为， 1． 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 在内恰有一解或（检验另一根在内）或（检验另一根在内） 12. 讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置 例题解析 二次函数的最值问题 例 1 已知函数在区间上的最大值为4，求实数的值. 【答案】或 【解析】 （1）若，不符合题意；7 （2）若则，由，得； （3）若时，则，由，得； 综上知或 例2如果函数定义在区间上，求的最小值. 【答案】 【解析】函数，其对称轴方程为，顶点坐标为，图象开口向上. 如图1所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有，此时，当时，函数取得最小值. 图1 如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即.当时，函数取得最小值. 图2 如图3所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即.当时，函数取得最小值. 图3 综上讨论， 一元二次方程根的分布 例3设二次方程的两根为，当且时，求实数的取值范围． 【答案】 例4已知一元二次方程的两个实数根在-1与2之间，求实数的取值范围． 【答案】 二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的联系 例 5 是否存在实数，使关于的不等式的解为？若存在，请解不等式；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，且时满足条件；不等式解集为 二次函数的综合应用 例6“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数．当不超过4（尾/立方米）时，的值为2（千克/年）；当时，是的一次函数；当达到20（尾/立方米）时，因缺氧等原因，的值为0（千克/年）. （1）当时，求函数的表达式； （2）当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大，并求出最大值． 【解析】（1）由题意：当时，； 当时，设，显然在是减函数， 由已知得，解得 故函数= . （2）依题意并由（1）可得 当时，为增函数，故； 当时，， ． 所以，当时，的最大值为． 当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为千克/立方米． 利用一元二次函数的性质 例7已知，若恒成立，求的取值范围. 【答案】 【解析】本题可以考虑的零点分布情况进行分类讨论，分无零点、零点在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情况，即Δ≤0或或. ，即在上成立.2 —2 （1） （2）或 综上所述，. 变换主元： 例8对于满足的所有实数,求使不等式恒成立的的取值范围. 【答案】或 【解析】在不等式中出现了两个字母：及,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于的一次函数大于0恒成立的问题. 原不等式转化为在时恒成立, 设,则在[-2,2]上恒大于0，故有： 即解得： ∴或 此类题本质上是利用了一次函数在区间[m,n]上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方（或下方）即可. 不等式能成立和恰成立 例9存在实数，使得不等式有解，求k的取值范围 【答案】 【解析】存在性问题，变量分离，，只需在区间 . 综合应用 例10已知函数图像有两个零点,则取值范围. 【答案】 【解析】图像有两个零点，即意味着方程有两个根，通过变量分离，此方程有两个解，即可以看做两个函数图像有两个交点.通过画出两者函数图像进行分析，得出 的取值范围. 反思总结 一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当ax2+bx+c＝0（a≠0）有解时，不妨设它的解为x1，x2，那么这个方程可以写成ax2﹣a（x1+x2）x+ax1•x2＝0．即x2﹣（x1+x2）x+x1•x2＝0．它表示根与系数有如下关系：x1+x2＝﹣，x1•x2＝． 随堂检测 1．已知，，是关于的方程的一根，则　　 A．0 B． C．1 D．2 【解答