2.3.1 一元二次不等式-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册同步讲义（学生版+教师版）

知识梳理 一元二次不等式的解法 注意：解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零. (2)计算相应的判别式. (3)当Δ＞0时求出相应的一元二次方程的两根. (4)根据一元二次不等式解集的结构，写出其解集. 注意：解含参数的一元二次不等式的步骤 分式不等式的解法---化分式不等式为整式不等式 类型 转化 ＞0(＜0) f(x)·g(x)＞0(＜0) ≥0(≤0) ＞a 先移项转化为上述两种形式 一元二次不等式恒成立问题 （1）不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为 (2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立⇔k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min. 例题解析 题型一 一元二次不等式的解法 例1 解下列不等式： (1)－x2＋7x>6； (2)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)； (3)(2－x)(x＋3)<0． [解]　(1)原不等式可化为x2－7x＋6<0. 解方程x2－7x＋6＝0得，x1＝1，x2＝6. 结合二次函数y＝x2－7x＋6的图象知，原不等式的解集为{x|1<x<6}． (2) (3)由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2. ∴原不等式等价于9x2－12x＋4>0. 解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝. 结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为. （3）原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0. 方程(x－2)(x＋3)＝0两根为2和－3. 结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x<－3或x>2}． 例2 解关于x的不等式x2－ax－2a2<0(a∈R)． 注意：先求出方程x2－ax－2a2＝0的两根x1＝2a，x2＝－a，再通过比较2a与－a的大小写出不等式的解集． [解]　原不等式转化为(x－2a)(x＋a)<0，对应的一元二次方程的根为x1＝2a，x2＝－a. ①当2a>－a，即a>0时，不等式的解集为{x|－a<x<2a}； ②当2a＝－a，即a＝0时，原不等式化为x2<0，无解； ③当2a<－a，即a<0时，不等式的解集为{x|2a<x<－a}． 综上所述，当a>0时，原不等式的解集为{x|－a<x<2a}；当a＝0时，原不等式的解集为∅；当a<0时，原不等式的解集为{x|2a<x<－a}． [跟踪训练] 解关于x的不等式(a∈R)：x2－(a＋a2)x＋a3＞0. 解　将不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0变形为(x－a)(x－a2)＞0. 当a＜0时，有a＜a2，所以不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}； 当a＝0时，a＝a2＝0，所以不等式的解集为{x|x∈R，且x≠0}； 当0＜a＜1时，有a＞a2，所以不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}； 当a＝1时，a＝a2＝1，所以不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}； 当a＞1时，有a＜a2，所以不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}. 题型二 三个“二次”关系的应用 例3 已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集． 注意：由x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，可知1,2是方程x2＋ax＋b＝0的两根，可求出a，b的值，从而得解． [解]　∵x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}， ∴1,2是x2＋ax＋b＝0的两根． 由韦达定理有得 代入所求不等式bx2＋ax＋1>0，得2x2－3x＋1>0. 由2x2－3x＋1>0⇔(2x－1)(x－1)>0⇔x<或x>1. ∴bx2＋ax＋1>0的解集为. [跟踪训练] 已知一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(α，β)，且0＜α＜β，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集. 解 由题意可得a＜0，且α，β为方程ax2＋bx＋c＝0的两根， ∴由根与系数的关系得 ∵a＜0，0＜α＜β，∴由②得c＜0， 则cx2＋bx＋a＜0可化为x2＋x＋＞0. ①÷②，得＝＝－＜0. 由②得＝＝·＞0. ∴，为方程x2＋x＋＝0的两根. 又∵0＜α＜β，∴0＜＜， ∴不等式x2＋x＋＞0的解集为， 即不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为. 题型三 简单的分式不等式求解 例4 解下列不等式： (1)≥0； (2)>1. [解]　(1)原不等式可化为 解得 ∴x<－或x≥，∴原不等式的解集为. (2)原不等式可化为>0， 化简得>0，即<0， ∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得