2.2 基本不等式-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册同步讲义（学生版+教师版）

知识梳理 一、基本知识 1．基本不等式： (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．在运用基本不等式及其变形时，一定要验证等号是否成立 (2)≥2(a，b同号)． (3)ab≤(a，b∈R)． (4)≥ (a，b∈R)． 【注意】每个不等式成立的条件不一样。 【探究】函数y＝x＋的最小值是2吗？ 提示　不是．因为函数y＝x＋的定义域是{x|x≠0}， 当x<0时，y<0，所以函数y＝x＋无最小值． 3．算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大) 二、解读基本不等式 1．不等式a2＋b2≥2ab与的比较 (1)两个不等式a2＋b2≥2ab与成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可)． (2)两个不等式a2＋b2≥2ab和都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”． 2．应用基本不等式求最值的原则 利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即： (1)一正：符合基本不等式成立的前提条件，a>0，b>0； (2)二定：化不等式的一边为定值； (3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立． 以上三点缺一不可． 例题解析 考点一：利用基本不等式求函数的最值 例1(1)已知，求的最大值； (2)已知，求的最大值． 练习（1）已知，求的最小值．并求此时的值； （2）设，求函数的最大值； （3）已知，求的最小值； （4）已知，，且，求的最小值； 考点二：变形技巧：“1”的代换 例2已知，，则的最小值为_______________； 练习1若，，且，则的最小值是_____． 练习2设，，若，则的最小值为__________． 考点三：忽视等号成立的条件而致误 例3已知四个函数①；②；③；④，其中函数最小值是2的函数编号为____________． 练习（1）已知，求的最大值 （2）已知，求的最小值； （3）已知，求的最大值； （4）求函数的最小值． 考点四：利用基本不等式比较数的大小 例4已知,,为三角形的三边,且,,则（ ） A． B． C． D． 练习已知且，试比较，，的大小． 考点五：不等式的证明技巧—字母轮换不等式的证法 例5已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明： （1）； （2）． 练习（1）已知，且，证明：； （2）已知，且，证明：. 考点六：求参数的取值范围问题 例6已知，若恒成立，则 的取值范围是_____． 练习1已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是______. 考点七：均值不等式在实际问题中的应用 例7（1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ （2）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 练习 某单位修建一个长方形无盖蓄水池，其容积为立方米，深度为米，池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，设池底长方形的长为米. （1）用含的表达式表示池壁面积； （2）当为多少米时，水池的总造价最低，最低造价是多少？ 反思总结 技巧一：凑项 需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值． 技巧二：凑系数 遇到无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值． 技巧三：分离 技巧四：换元 一般，令t＝x+1，化简原式在分离求最值． 技巧五：结合函数f（x）＝x+的单调性． 技巧六：整体代换 多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错． 技巧七：取平方 两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造条件． （7）寻找中间量或放缩法； （8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法． 随堂检测 多选题 1．已知函数，则该函数的（ ）． A．最小值为3 B．最大值为3 C．没有最小值 D．最大值为 2．已知实数、满足，则下列不等式一定成立的有（ ） A． B． C． D． 3．若正实数a，b满足则下列说法正确的是（ ） A．ab有最大值 B．有最大值 C．有最小值2 D．有最大值 4．设，，给出下列不等式恒成立的是（ ）. A． B． C． D． 填空题 5．已知，则的最小